Representación del álgebra de Lorentz y QFT

Question

Representación del álgebra de Lorentz y QFT

Física
teoría de grupos
lorentz-simetría
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos
representaciones de grupo

cuantización

Simplemente tengo problemas para hacer una analogía completa entre la representación del álgebra de Lorentz en la teoría cuántica de campos (QFT) y la representación SU (2) en la mecánica cuántica (QM).

Para aclarar mi punto, escribiré algunas cosas que creo que son ciertas para el caso de QM. Primero comenzamos mirando las matrices de rotación en Mecánica Clásica, representadas por matrices $R \in SO(3)$ .

Entonces, asociamos matrices unitarias con $R$ , $D(R)$ , y estas matrices forman $SU(2)$ grupo. Ahora, veamos el álgebra de $SU(2)$ encontrar relaciones fundamentales de conmutación entre los generadores de $D(R)$ , a saber,

[j_{i}, j_{j}] = i ϵ_{i j k} j_{k}

$[J_i,J_j] = i\epsilon_{ijk}J_k$

Luego buscamos diferentes representaciones de estos generadores caracterizados por diferentes momentos angulares (lo que define la dimensión del espacio vectorial en el que actúan los generadores).

La representación que usamos, entonces también da una expresión explícita para nuestras matrices unitarias $D(R)$ por

D (R) = Exp (\frac{i \vec{j} \cdot \hat{norte}}{ℏ}) .

$D(R) = \exp(\frac{i\vec{J}\cdot\hat{n}}{\hbar}).$

Además, puedo definir vectores y tensores por esta matriz unitaria, $D(R)$ . Por ejemplo, vector $V_i$ transforma por

D (R)^{- 1} V^{i} D (R) = R_{j}^{i} V^{j} .

$D(R)^{-1} V^i D(R) = R_{\:j}^i V^j.$

Ahora, quiero entender de manera similar el caso de QFT con el grupo Lorentz. (Actualmente estoy siguiendo el texto QFT de Srednicki).

Empiezo con las matrices de Lorentz $\Lambda$ , y asociarlo con matrices unitarias, $U(\Lambda)$ . Tengo una definición similar de 4 vectores en QFT como en QM:

tu (Λ)^{- 1} V^{i} tu (Λ) = Λ_{j}^{i} V^{j} .

$U(\Lambda)^{-1} V^i U(\Lambda) = \Lambda_{\:j}^i V^j.$

También puedo definir los generadores de $U(\Lambda)$ , $M^{\mu\nu}$ , y derivar sus relaciones fundamentales de conmutación,

[{METRO}^{m v}, {METRO}^{ρ σ}] = \dots .

$[M^{\mu\nu},M^{\rho\sigma}]=\cdots.$

Ahora, haciendo una analogía completa con QM, espero encontrar una representación de $M^{\mu\nu}$ y la representación de $U(\Lambda)$ exponenciando $M^{\mu\nu}$ .

Pero en cambio, procedemos buscando la representación de $\Lambda$ , en lugar de $U(\Lambda)$ como en QM. Por ejemplo, en cuanto a la representación izquierda de Weyl-spinor, encuentro la representación $L(\Lambda)$ :

tu (Λ)^{- 1} ψ_{a} (X) tu (Λ) = L_{a}^{b} (Λ) ψ_{b} (Λ^{- 1} X) .

$U(\Lambda)^{-1} \psi_a(x) U(\Lambda) = L_a^{\:b}(\Lambda) \psi_b(\Lambda^{-1} x).$

Ahora, tengo un generador. $S_L$ (que ahora no es necesario ser hermitiano (a diferencia de QM) ), lo que da $L(\Lambda)$ cuando se exponen (en lugar de $U(\Lambda)$ (a diferencia de QM) ).

No obtengo una expresión explícita (a diferencia de QM) para $U(\Lambda)$ , asi que no se que pensar de ellos ni de sus generadores $M^{\mu\nu}$ . Por ejemplo, obtengo expresiones que involucran tanto $M^{\mu\nu}$ y $S_L^{\mu\nu}$ ( (mientras que en QM, ya que busqué una representación de $D(R)$ (en vez de $R$ ), cantidad análoga a $M^{\mu\nu}$ y $S_L^{\mu\nu}$ eran lo mismo) ).

Sé que no existe una representación unitaria finita del álgebra de Lorentz, así que creo que esa debe ser la pieza que falta en mi comprensión. Me gustaría hacer una analogía completa con QM, ¿alguien podría ser de ayuda?

Gracias.

una mente curiosa

Si sabe que no existe una representación unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, ¿qué pieza faltante está buscando? ¿ Cuál es tu pregunta específica ? (Parece confundido por el hecho de que hay dos representaciones "simultáneas" del grupo de Lorentz en QFT. Las que actúan directamente sobre los campos (clásicos) como representaciones de dimensión finita (su

L (λ)

$L(\lambda)$ ), y las representaciones unitarias sobre los espacios de estado de Hilbert bajo los cuales los campos se transforman como operadores (por su

U Λ

$U\Lambda$ ). No obtiene una analogía completa con QM porque esto no sucede en QM.

una mente curiosa

Su definición de un "vector" también está desactivada, ya en el caso de QM, es

V^{i}

$V^i$ es un vector bajo rotación, se transforma como

V \mapsto D (R) V

$V\mapsto D(R) V$ , o, en componentes,

V^{i} \mapsto D (R)_{j}^{i} V^{j}

$V^i \mapsto D(R)^i_j V^j$ . Que en QFT la "transformación del operador"

U (λ) ϕ U (λ)^{†}

$U(\lambda)\phi U(\lambda)^\dagger$ y la "transformación vectorial"

ϕ \mapsto L (Λ) ϕ

$\phi\mapsto L(\Lambda)\phi$ coincidir es uno de los axiomas de Wightman.

cuantización

@ACuriousMind: Sí, eso es lo que me confunde. ¿Está diciendo que el lado derecho (representación de dimensión finita) no es un espacio "Hilbert" de dimensión finita? Entonces

ψ_{a} (x)

$\psi_a(x)$ tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert y una representación de dimensión finita en el espacio vectorial clásico? Además, estás diciendo que el axioma de Wightman nos dice, si encuentro una representación explícita de dimensión infinita de

ψ_{a} (x)

$\psi_a(x)$ y

U (Λ)

$U(\Lambda)$ , el lado izquierdo dará exactamente el mismo resultado? ¡Gracias ACuriousMind!

Respuestas (1)

Representación del álgebra de Lorentz y QFT

Si sabe que no existe una representación unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, ¿qué pieza faltante está buscando? ¿ Cuál es tu pregunta específica ? (Parece confundido por el hecho de que hay dos representaciones "simultáneas" del grupo de Lorentz en QFT. Las que actúan directamente sobre los campos (clásicos) como representaciones de dimensión finita (su $L(\lambda)$ ), y las representaciones unitarias sobre los espacios de estado de Hilbert bajo los cuales los campos se transforman como operadores (por su $U\Lambda$ ). No obtiene una analogía completa con QM porque esto no sucede en QM.
Su definición de un "vector" también está desactivada, ya en el caso de QM, es $V^i$ es un vector bajo rotación, se transforma como $V\mapsto D(R) V$ , o, en componentes, $V^i \mapsto D(R)^i_j V^j$ . Que en QFT la "transformación del operador" $U(\lambda)\phi U(\lambda)^\dagger$ y la "transformación vectorial" $\phi\mapsto L(\Lambda)\phi$ coincidir es uno de los axiomas de Wightman.
@ACuriousMind: Sí, eso es lo que me confunde. ¿Está diciendo que el lado derecho (representación de dimensión finita) no es un espacio "Hilbert" de dimensión finita? Entonces $\psi_a(x)$ tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert y una representación de dimensión finita en el espacio vectorial clásico? Además, estás diciendo que el axioma de Wightman nos dice, si encuentro una representación explícita de dimensión infinita de $\psi_a(x)$ y $U(\Lambda)$ , el lado izquierdo dará exactamente el mismo resultado? ¡Gracias ACuriousMind!

una mente curiosa · Answer 1

La confusión aquí surge porque aquí no somos completamente análogos a la QM no relativista.

Dado un campo (cuántico o clásico) $\phi$ , generalmente especificamos si es un "escalar", "espinor", "tensor", cualquier campo. Esto se refiere a una representación de dimensión finita. $\rho_\text{fin}$ del grupo de Lorentz el campo se transforma en un elemento :

ϕ \overset{Λ}{\mapsto} ρ_{aleta} (Λ) ϕ

$\phi \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$ Pero, simultáneamente, el campo cuántico es un operador sobre el espacio de Hilbert de la teoría, y sobre el espacio de Hilbert debe existir una representación unitaria

U

$U$ . Más precisamente, cada componente

ϕ^{μ}

$\phi^\mu$ del campo cuántico es un operador, y por lo tanto se transforma como lo hacen los operadores :

ϕ^{m} \overset{Λ}{\mapsto} tu (Λ) ϕ^{m} tu (Λ)^{†}

$\phi^\mu \overset{\Lambda}{\mapsto} U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger$ Ahora es uno de los axiomas de Wightman que

tu (Λ) ϕ tu (Λ)^{†} = ρ_{aleta} (Λ) ϕ

$U(\Lambda)\phi U(\Lambda)^\dagger = \rho_\text{fin}(\Lambda)\phi$ o, en componentes

tu (Λ) ϕ^{m} tu (Λ)^{†} = ρ_{aleta} (Λ)_{v}^{m} ϕ^{v}

$U(\Lambda)\phi^\mu U(\Lambda)^\dagger=\rho_\text{fin}(\Lambda)^\mu_\nu\phi^\nu$ Es por esta suposición que es suficiente dar la representación de dimensión finita del campo cuántico para fijar también la representación unitaria que la acompaña en el espacio de Hilbert de dimensión infinita en el que es un operador. Las representaciones de dimensión infinita se caracterizan por la clasificación de Wigner a través de su masa y espín/helicidad. Dado que las representaciones de dimensión finita sobre los campos también se caracterizan por espines, la masa (del término cinético del campo) y el espín del campo (de su representación de dimensión finita) fijan la representación unitaria que las partículas que crea se transforman en .

Todo esto a menudo se oculta debajo de la alfombra porque para el vacío invariante de Lorentz $\lvert\Omega\rangle$ , tenemos

ϕ | Ω ⟩ \overset{Λ}{\mapsto} ρ_{aleta} (Λ) ϕ | Ω ⟩

$\phi \lvert \Omega \rangle \overset{\Lambda}{\mapsto} \rho_\text{fin}(\Lambda) \phi \lvert\Omega\rangle$ por lo tanto, conocer la representación de dimensión finita es suficiente para saber cómo se transforman todos los estados que crea el campo a partir del vacío, y dado que los espacios de Fock se construyen completamente a partir de dichos estados, este es todo el conocimiento práctico sobre la representación unitaria que generalmente se necesita.

¡Gracias por tu respuesta! ¿Podría ampliar el siguiente punto? > Es por esta suposición que es suficiente dar la representación de dimensión finita del campo cuántico para fijar también la representación unitaria que la acompaña en el espacio de Hilbert de dimensión infinita en el que es un operador. Es decir, ¿cómo exactamente "fija" esto la representación unitaria que lo acompaña?
@balu En realidad, esto no soluciona completamente la representación unitaria correspondiente: una representación unitaria está determinada únicamente por la masa y el giro según la clasificación de Wigner. El giro está determinado por la representación de Lorentz de dimensión finita, pero la masa es un parámetro adicional que el campo (o más bien el Lagrangiano) lleva consigo.
¡Wow esto es increíble! Entonces, ¿básicamente estamos hablando de dos representaciones diferentes al mismo tiempo? ¿Uno en el que el propio campo es el espacio vectorial sobre el que se va a operar y otro en el que el campo opera sobre el espacio de Hilbert asociado?
El libro de Schwartz sobre QFT decía que necesitamos representaciones de infinitas dimensiones y siempre me preguntaba cómo, por ejemplo. una representación (1/2, 0) es de dimensión infinita cuando es de 4 dimensiones. Entonces, ¿esta es la clave?

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István Bauer

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(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) representación de SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\oveces SU(2)

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