Representación de la indistinguibilidad en la mecánica cuántica

Me parece que esto es básicamente una cuestión de forma

"¿Por qué usamos el modelo que hacemos para partículas idénticas en la mecánica cuántica en lugar de algún otro?"

a lo que la mejor y última respuesta es

"Porque el modelo que tenemos nunca ha estado en desacuerdo con el experimento",

pero tal vez pueda convencerlo de que hay situaciones en las que el formalismo del producto tensorial + simetrización (o antisimetrización) de uso común es natural.

Considere un sistema de dos electrones, uno atrapado en una caja en la Tierra y el otro atrapado en una caja en Alpha Centauri.

Estas dos partículas son ciertamente idénticas; todos los electrones lo son, pero se distinguen en el sentido de que, dado que cada uno está atrapado en una caja, podemos llamar al electrón en la caja de la Tierra electrón 1, y podemos llamar al electrón en la caja de Alfa Centauri electrón 2, y ganamos no nos confundamos. (Ver ¿ Cuáles son las diferencias entre indistinguibles e idénticos? )

Creo que estaría de acuerdo en que, en este caso, tiene mucho sentido (y es importante) distinguir entre los estados de espín de cada electrón escribiendo estados de producto tensorial como$|\uparrow\rangle|\downarrow\rangle$, porque cuando uno hace una medición del estado de espín del sistema, uno podría hacer una pregunta como

"Después de una medición de espín, ¿estaba el electrón de la Tierra en el estado de espín hacia arriba o en el estado de espín hacia abajo?"

Entonces vemos que en ciertos casos, de hecho, existe la necesidad de tener un formalismo que distinga entre partículas idénticas para reproducir los tipos de mediciones de subsistemas individuales que uno quisiera.

Ahora, si tuviera dos electrones en una sola caja, entonces, por supuesto, uno no puede distinguir entre los electrones de la misma manera, pero si se supone, por ejemplo, que los electrones no interactúan, entonces la física de las mediciones de espín en este caso es exactamente el mismo, por lo que tiene sentido utilizar el mismo modelo. Por supuesto, podría intentar inventar otro modelo que reproduzca las predicciones del modelo del producto tensorial, pero ¿por qué lo haría cuando tenemos uno que ya tiene una concordancia espectacular con el experimento?

Me preguntaba si las partículas son indistinguibles en la mecánica cuántica... ¿Por qué no hablamos simplemente de dos partículas, por qué tenemos que darles etiquetas, incluso si no afectan la medición?

Recordemos lo que significa esta indistinguibilidad en la práctica: para obtener un buen acuerdo de los cálculos de las propiedades atómicas como las frecuencias de las líneas de emisión con los experimentos, se necesitan funciones propias hamiltonianas (no son necesarias pero hacen que el cálculo sea manejable). Resulta que los hamiltonianos atómicos ordinarios tienen tales propiedades (son reales y simétricos...) que sus funciones propias son todas simétricas o antisimétricas con respecto al intercambio de coordenadas de dos partículas.

En comparación con las mediciones, se encontró que para los electrones, las funciones de onda antisimétricas para los electrones$\psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$debería ser usado.

Ahora bien, ¿dónde está la indistinguibilidad en eso ? Se encuentra en el hecho de que únicamente a partir de una función de onda antisimétrica$\psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$, no podemos distinguir ninguna diferencia en las propiedades o el comportamiento de la partícula 1 de la partícula 2; la densidad de probabilidad de que 1 esté en A y 2 esté en B es la misma que la densidad de probabilidad de que 2 esté en A y 1 esté en B.

Puede resultar sorprendente, pero parece claro que para explicar exactamente qué significa la indistinguibilidad en la práctica de la física atómica, necesitamos al menos dos entidades diferentes, distinguibles en el habla, y solo entonces se puede decir que no podemos distinguirlas con el descripción basada en la$\psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$funcionar solo. No significa necesariamente que dos o todos los electrones en el mundo sean en realidad uno y el mismo electrón o algo metafísico como eso, como la gente a veces fantasea. La indistinguibilidad es solo una molestia práctica.

¿Por qué no?$\left| \uparrow \downarrow \right\rangle$y$\left| \downarrow \uparrow \right\rangle$el mismo estado?

Estos dos kets se refieren a diferentes estados por definición; la posición de la flecha dentro del ket es importante y se elige intencionalmente en función de cuál de los cuerpos portadores de giro individuales se refiere. Queremos que el formalismo funcione de esta manera porque nos permite describir fácilmente situaciones como girar z hacia arriba en el detector A (primera posición dentro del ket), girar hacia abajo en el detector B (segunda posición dentro del ket). El comportamiento que tiene en mente sucede, pero con un ket diferente: el ket simétrico

$$\left|\uparrow\downarrow\right\rangle + \left|\downarrow \uparrow\right\rangle$$ que se puede escribir como $sym\{\uparrow,\downarrow\}$o $sym\{\downarrow,\uparrow\}$; el orden no importa aquí.

Seguramente, si son realmente indistinguibles, las etiquetas son solo una redundancia. ¿Hay alguna razón matemática detrás de esto, o hay una razón física más profunda?

Etiquetas distintas como$\mathbf r_1,\mathbf r_2$se usan para partículas distintas en parte porque ya se usaban en la mecánica clásica, en particular en la mecánica hamiltoniana. Schroedinger ideó su ecuación con este formalismo hamiltoniano en mente, por lo que también usa coordenadas distintas. Por ejemplo, los necesitamos para formular el operador hamiltoniano para el átomo de helio

$$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta_1 - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta_2 + \frac{K}{4\pi}q_1 q_2 \frac{1}{|\mathbf r_1 - \mathbf r_2|} + \frac{K}{4\pi}Qq_1\frac{1}{|\mathbf r_1|} + \frac{K}{4\pi}Qq_2\frac{1}{|\mathbf r_2|}.$$

No existe tal cosa como la ecuación de Schroedinger con dos variables indistinguibles. Esto no debe considerarse como una deficiencia de su formalismo: después de todo, las variables no son partículas. No hay dificultad con variables distintas que se refieren a partículas indistinguibles.

No hay indistinguibilidad en los objetos formales: los dos electrones están etiquetados por variables distintas. Solo cuando se buscan funciones que resuelvan la ecuación de Schroedinger

$$\hat{H} \Phi(\mathbf r_1, \mathbf r_2) = E \Phi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$$ resulta que todos estos son simétricos o antisimétricos, lo que significa que la descripción del electrón $1$es lo mismo que la descripción del electrón 2; uno no puede decir nada diferente sobre la primera segunda partícula que sobre la segunda partícula de la $\psi$funcionar solo.

Si queremos, podemos incluso pensar que los dos electrones no son exactamente iguales y que en realidad son un poco diferentes (por ejemplo, su masa puede variar).$10^{-62}$kg, que está más allá de nuestras habilidades para medir). Debe quedar claro que esto no nos impide usar funciones antisimétricas en los cálculos con ventaja, ni llamar indistinguibles a los electrones (cuando tales diferencias de masa son inmensurables).

El formalismo cuántico tiene la propiedad útil de que podemos usar un espacio de Hilbert que es más grande de lo necesario para describir la dinámica de un sistema, y ​​luego arreglarlo poniendo restricciones a los estados posibles. El tratamiento de partículas idénticas es un ejemplo.

Para aclarar los problemas, considere una computadora cuántica que ejecuta un cálculo clásico: un gas de red clásico. En el modelo de gas clásico, los 1 binarios actúan como partículas idénticas y los 0 binarios actúan como espacio vacío. Intercambiar dos 1 no da un nuevo estado clásico (p. ej., 110 -> 110). Pero supongamos que decidimos en la implementación cuántica adjuntar una etiqueta de partícula distinta a cada partícula y describir las interacciones de las partículas como si pudiéramos hacer un seguimiento de qué partícula es cuál. En este caso, el intercambio de partículas que difieren solo en su etiqueta de partículas seríadar un nuevo estado cuántico. Podemos arreglar esta inconsistencia con el modelo clásico original definiendo nuevos estados base, cada uno de ellos una suma igualmente ponderada de estados de partículas equivalentes (es decir, simetrización). Usar solo estos como estados base elimina efectivamente las etiquetas de partículas, reduciendo el tamaño de la base sin cambiar la descripción de la dinámica.

Ahora, está claro que el entrelazamiento en una computación cuántica no depende del tratamiento de 1 bits idénticos como partículas distinguibles. Por lo tanto, bien puede ser que no haya una razón matemática profunda para este tipo de descripción (simetrización para reducir el tamaño efectivo del espacio de Hilbert utilizado para describir la dinámica) que no sea su estrecha conexión con la mecánica lagrangiana clásica de "seguimiento de las partículas". . Los modelos de gas de red cuántica de las teorías cuánticas de campo no tienen este problema.