¿Cómo entender las permutaciones de partículas en Mecánica Cuántica?

Estoy estudiando partículas idénticas en Mecánica Cuántica y me cuesta entender la idea de permutaciones de partículas desde un punto de vista matemático.

Desde un punto de vista intuitivo, es bastante simple: tenemos dos partículas idénticas y las etiquetamos arbitrariamente como$1,2$. Permutar las partículas significa permutar las etiquetas, de modo que la partícula una vez etiquetada$1$es ahora$2$y la partícula una vez etiquetada$2$es ahora$1$.

Ahora, matemáticamente las cosas son más complicadas. Si la descripción de cada partícula sola está dada por el espacio de estado$\mathcal{E}$, al principio parece que para el sistema de dos partículas el espacio de estado debería ser$\mathcal{E}\otimes \mathcal{E}$.

Sé que más adelante vemos que es un subespacio de eso, pero solo para aclarar mi punto, lo importante es que parece que el primero$\mathcal{E}$que aparece es para partícula$1$y el segundo$\mathcal{E}$que aparece es para partícula$2$.

Ahora, estoy leyendo el libro de Cohen-Tannoudji y al respecto el autor afirma lo siguiente:

Considere un sistema compuesto por dos partículas con el mismo espín$s$. Aquí no es necesario que estas dos partículas sean idénticas: es suficiente que sus espacios de estado individuales sean isomorfos. Por tanto, para evitar los problemas que surgen cuando las dos partículas son idénticas, supondremos que no lo son: los números (1) y (2) con los que están etiquetadas indican su naturaleza. Por ejemplo, (1) denotará un protón y (2), un electrón.

Elegimos una base,$\{|u_i\rangle\}$, en el espacio de estado$\mathcal{E}(1)$de partícula (1). Como las dos partículas tienen el mismo espín,$\mathcal{E}(2)$es isomorfo a$\mathcal{E}(1)$, y puede ser generado por la misma base. Tomando el producto tensorial, construimos, en el espacio de estados$\mathcal{E}$del sistema, la base:

$$\{|1: u_i; 2: u_j\}$$

Como el orden de los vectores no tiene importancia en un producto tensorial, tenemos

$$|2:u_j;1:u_i\rangle = |1:u_i;2:u_j\rangle.$$

Sin embargo tenga en cuenta que:

$$|1:u_j; 2:u_i\rangle \neq |1:u_i; 2:u_j\rangle, \quad \text{if} \ i\neq j.$$

El operador de permutación$P_{21}$se define entonces como el operador lineal cuya acción sobre los vectores base viene dada por:

$$P_{21}|1:u_i;2:u_j\rangle = |2:u_i;1:u_j\rangle = |1:u_j;2:u_i\rangle.$$

Ahora debo confesar que esto no tiene ningún sentido para mí. ¿Qué esta notación$|1:u_i;2:u_j\rangle$¿medio? decir partícula$1$Me senté$|u_i\rangle$y partícula$2$Me senté$|u_j\rangle$es lo mismo que decir que el sistema está en el estado$|u_i\rangle\otimes |u_j\rangle$. Pero no puedo tener idea de lo que significa esta notación que usa.

Entonces, ¿cómo entender este fragmento de texto que dice el autor? Cómo entender su notación, y especialmente, cómo$P_{21}$está rigurosamente definida. Realmente no puedo entender cómo:

es diferente a

Entonces, ¿cómo entendemos esta notación y la acción de este operador desde un punto de vista matemático?