¿Hay algún "estado singlete" para 3 o más partículas de espín 1/2?

Todo sistema con$N$o más electrones se encuentra en un espacio de Hilbert$H=H_{\text{space}} \otimes H_{\text{spin}}$, con$H_{\text{space}}=H_{\text{space}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{space}}^{N}$y$H_{\text{spin}}=H_{\text{spin}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{spin}}^{N}$,$H^i$siendo el$i$-ésimo espacio de partículas. Entonces el sistema tiene un estado$|\Psi\rangle = |\Psi\rangle_{\text{space}} \otimes |\Psi\rangle_{\text{spin}} \in H$.

Lo que no se me ocurrió es un spin ket antisimétrico.$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$cuando había más de 3 electrones. Esto significaría que la única manera de antisimetrizar$|\Psi\rangle$, para$N\geq 3$, es antisimetrizando solo la parte espacial. Creo que es extraño, ya que para$N=2$tenemos un ket de espín antisimétrico (el estado singlete), entonces, ¿por qué no habría tales kets para$N\geq 3$?

Ignorando la parte espacial, y asumiendo$N\geq 3$, si queremos describir$N$giros idénticos$\sigma_k = \pm$, necesitamos antisimetrizar el ket$|\sigma_1\rangle |\sigma_2\rangle \cdots |\sigma_N\rangle$de la siguiente manera

Tomemos, por ejemplo, el siguiente ket (que queremos antisimetrizar)

Si solo miramos las permutaciones$p$que no cambia$|\phi\rangle$, terminamos con un subgrupo$S_n S_m\subset S_N$, compuestos de:

$S_n$= permutaciones$\alpha\in S_N$que no cambian el "$\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$"parte y no toques el"$\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$" parte

y:

$S_m$= permutaciones$\beta\in S_N$que no tocan el "$\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$"parte y no cambies el"$\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$" parte

Con$S_n S_m$siendo todas las permutaciones de la forma$\alpha \circ \beta$

Pero es que la mitad de los elementos de$S_n$son pares y la otra mitad son impares, por lo que la siguiente suma es cero:

Y se podría haber hecho un cálculo similar para cada permutación de$|\phi\rangle$, entonces, notando que el ket original$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$es una suma de términos como$A(|\phi'\rangle)$, con$|\phi'\rangle$siendo permutaciones de$|\phi\rangle$que sí lo cambian (a diferencia de antes), resulta que$|\Psi\rangle_{\text{spin}} = 0$para cada$N>2$! (con$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$antisimétrico)