Partículas idénticas y el producto tensorial

Creo que la notación$\left|\uparrow_1\downarrow_2\right>$no es particularmente útil porque hace que parezca que hay una diferencia entre$\left|\uparrow_1\downarrow_2\right>$y$\left|\uparrow_2\downarrow_1\right>$. Presumiblemente, el punto es que en el estado$\left|\uparrow_1\downarrow_2\right>$, la primera partícula está en el estado$\left|\uparrow\right>$mientras que el segundo está en el estado$\left|\downarrow\right>$, pero eso ya es obvio debido al orden, que hace que los subíndices sean redundantes en el mejor de los casos y activamente dañinos en el peor (que parece ser el caso aquí). Deshacerse de los subíndices y simplemente escribir$\left|\uparrow\downarrow\right> \equiv \left|\uparrow\right>\otimes \left|\downarrow\right>$es una mejor idea. Intercambiando las partículas entonces se obtiene

$$\hat P_{1,2}\left|\uparrow\downarrow\right> = \left|\downarrow\uparrow\right>$$ lo que hace que su pregunta original sea bastante sencilla.

¿Significa esto que el producto tensorial siempre es simétrico en el sentido de

$$\vert ab \rangle = \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert b \rangle \otimes \vert a \rangle = \vert b a \rangle$$ mientras$H_1 \otimes H_2$y$H_2 \otimes H_1$son básicamente el mismo espacio vectorial?

No, el producto tensorial no siempre es simétrico (de lo contrario, la simetría (resp. antisimetría) del estado compuesto sería trivial (resp. imposible). Sin embargo, un sistema de, por ejemplo, dos partículas indistinguibles se modela utilizando un espacio de producto tensorial del forma$H\otimes H$con$H$siendo el espacio de Hilbert de una sola partícula; si$H_1\neq H_2$, entonces$H_1 \otimes H_2 \neq H_2\otimes H_1$pero tampoco tendría mucho sentido escribir

$$|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle \overset{?}{\leftrightarrow} |\phi \rangle\otimes |\psi\rangle$$ ya que los dos vectores$|\psi\rangle$y$|\phi\rangle$ni siquiera pertenecen al mismo espacio.