Tengo una sutil duda sobre la interpretación física de la definición matemática de campo vectorial como una derivación. En física básica entendemos una cantidad vectorial como una cantidad que necesita más que una magnitud para ser completamente especificada, es decir, cantidades con la noción de dirección. Esto va muy bien con la definición matemática también básica de que un vector es una clase de equivalencia de segmentos de línea orientados.
Sin embargo, cuando vamos al estudio de las variedades, vemos que una mejor definición de vector es decir que un vector en un punto es una derivación del álgebra de funciones suaves en ese punto. Pero entonces, representamos fuerzas, por ejemplo, con vectores, ¿cuál es la interpretación de representar una fuerza que actúa sobre un punto mediante una derivación de las funciones uniformes sobre el punto? Me imagino que debe haber alguna interpretación para eso, pero no encontré cuál es.
Lo siento si esta pregunta parece tonta. Solo estoy tratando de unir esos conceptos. Y gracias a todos de antemano.
La definición de un vector como una derivación solo es realmente necesaria en una variedad curva. Si la variedad es plana, y particularmente si es un espacio vectorial, como en la mecánica newtoniana, entonces su espacio tangente es canónicamente equivalente a dicho espacio vectorial, y hablar de derivaciones es simplemente una charla fantasiosa para objetos simples.
En ese escenario, respondería que la respuesta real a "¿qué es un vector?" es proporcionada por el álgebra lineal. "¿A quién le importa qué es un vector?", dicen: lo importante es cómo se comporta. Así, un vector es algo que obedece a los axiomas del espacio vectorial. (Y más físicamente, también les pedimos que se transformen de acuerdo con la representación adecuada de bajo rotaciones.) Dado que las fuerzas, velocidades, aceleraciones, campos eléctricos, etc., obedecen a esos axiomas, los llamamos vectores.
Hablar de derivaciones es definitivamente importante, sin embargo, en una variedad curva, como es el caso de la relatividad general y áreas estrechamente relacionadas. Los objetos vectoriales juegan un papel central allí, pero creo que la norma es manejarlos apropiadamente y no hablar realmente de lo que son. (¡Realmente no hay ninguna necesidad! Una vez más, es mucho más importante cómo se comportan los objetos matemáticos que cómo se definen).
Sin embargo, como todas las buenas matemáticas, definitivamente tienen interpretaciones físicas sólidas. La velocidad es obviamente una derivación: es la tasa de cambio de a lo largo de la línea del mundo con velocidad , con respecto al tiempo propio de la partícula. La fuerza, sobre la que preguntas, es en realidad un covector, la derivada de la energía potencial : esto es evidente clásicamente a partir de la fórmula , o del diferencial
Oro
Emilio Pisanty
Emilio Pisanty