Longitud de una curva en el espacio euclidiano de dimensión D

Question

Longitud de una curva en el espacio euclidiano de dimensión D

yayu

En un libro que estoy leyendo sobre relatividad especial, el elemento de línea infinitesimal se define como $dl^2=\delta_{ij}dx^idx^j$ (Convención de suma de Einstein) donde $\delta_{ij}$ es la métrica euclidiana. A continuación, si tenemos alguna curva C entre dos puntos $P_1$ y $P_2$ en este espacio entonces la longitud de la curva se da como $\Delta L = \int_{P_1}^{P_2}dl$

Tengo problemas para derivar la siguiente declaración, que cito:

Una curva en el espacio euclidiano D-dimensional se puede describir como un subespacio del espacio D-dimensional donde las coordenadas D $x^i$ están dadas por funciones de un solo valor de algún parámetro $t$ , en cuyo caso la longitud de la curva desde $P_1=x(t_1)$ a $P_2=x(t_2)$ puede ser escrito
$Δ L = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{d_{i j} {\dot{X}}^{i} {\dot{X}}^{j}} d t dónde {\dot{X}}^{i} \equiv \frac{d X^{i}}{d t}$ $\Delta L = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\delta_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j} dt \qquad \mbox{where}\; \dot{x}^i\equiv \frac{dx^i}{dt}$

Fabian

Intenta usar eso

d x^{i} = {\dot{x}}^{i} d t

$dx^i = \dot x^i dt$ ...

yayu

@Fabian, ¿es una declaración general que las coordenadas D se pueden parametrizar mediante una función de valor único?

f : R^{D} \to R

$f:\mathbb{R}^D\rightarrow \mathbb{R}$ ¿Esta parametrización es única?

david z

@yayu: una curva (unidimensional) en cualquier espacio D-dimensional puede parametrizarse mediante una función de un solo valor

f : R^{D} \to R

$f:\mathbb{R}^D\to\mathbb{R}$ . La parametrización no es única; puede ser reescalado o "traducido" o sujeto a cualquier función uno a uno

g : R \to R

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y dará como resultado una nueva parametrización.

MBN

Creo que einstein debería escribirse Einstein incluso cuando se usa en la "convención de suma de Einstein".

yayu

@MBN para pequeños errores tipográficos, etc. este servidor permite que cualquier persona edite publicaciones :)

MBN

@yayu: Para mí, eso no es un pequeño error tipográfico :)), pero no sabía que podía editar publicaciones para pequeños errores tipográficos.

Fabian

@yayu:

Δ L

$\Delta L$ es invariante bajo reparametrización

t^{'} = f (t)

$t'=f(t)$ como puede verificar fácilmente (esta es de hecho la razón por la que puede escribirlo como

\int d ℓ

$\int d\ell$ sin ninguna referencia a una parametrización). Sin embargo, para calcular la longitud

Δ L

$\Delta L$ es recomendable introducir alguna parametrización (arbitraria). Si está interesado en parametrizaciones únicas: también existe una parametrización única con respecto a la longitud del arco que tiene algunas características interesantes.

yayu

@Fabian, ¿podrías publicar eso como respuesta?

Fabian

@yayu: por supuesto, de nada. (con un poco de retraso)

Respuestas (3)

Longitud de una curva en el espacio euclidiano de dimensión D

@Fabian, ¿es una declaración general que las coordenadas D se pueden parametrizar mediante una función de valor único? $f:\mathbb{R}^D\rightarrow \mathbb{R}$ ¿Esta parametrización es única?
@yayu: una curva (unidimensional) en cualquier espacio D-dimensional puede parametrizarse mediante una función de un solo valor $f:\mathbb{R}^D\to\mathbb{R}$ . La parametrización no es única; puede ser reescalado o "traducido" o sujeto a cualquier función uno a uno $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y dará como resultado una nueva parametrización.
Creo que einstein debería escribirse Einstein incluso cuando se usa en la "convención de suma de Einstein".
@MBN para pequeños errores tipográficos, etc. este servidor permite que cualquier persona edite publicaciones :)
@yayu: Para mí, eso no es un pequeño error tipográfico :)), pero no sabía que podía editar publicaciones para pequeños errores tipográficos.
@yayu: $\Delta L$ es invariante bajo reparametrización $t'=f(t)$ como puede verificar fácilmente (esta es de hecho la razón por la que puede escribirlo como $\int d\ell$ sin ninguna referencia a una parametrización). Sin embargo, para calcular la longitud $\Delta L$ es recomendable introducir alguna parametrización (arbitraria). Si está interesado en parametrizaciones únicas: también existe una parametrización única con respecto a la longitud del arco que tiene algunas características interesantes.

Fabian · Answer 1

Puede derivar los resultados correctos cuando usa la propiedad clave de los diferenciales

d X_{i} = {\dot{X}}_{i} d t .

$dx_i=\dot{x}_i dt.$ Tenga en cuenta que

Δ L

$\Delta L$ es invariante bajo reparametrización

t^{'} = f (t)

$t'=f(t)$ como puede verificar fácilmente (esta es de hecho la razón por la que puede escribirlo como

\int d ℓ

$\int d\ell$ sin ninguna referencia a una parametrización). Sin embargo, para calcular la longitud

Δ L

$\Delta L$ es recomendable introducir alguna parametrización (arbitraria). Si está interesado en parametrizaciones únicas: también existe una parametrización única con respecto a la longitud del arco que tiene algunas características interesantes.

Marcos Eichenlaub · Answer 2

Creo que deberías tomar eso como la definición de la palabra "longitud". No trataría de derivarlo en absoluto.

Básicamente está diciendo que si, por ejemplo, desea saber la longitud del círculo unitario en el primer cuadrante, configure

X^{1} = porque t

$x^1 = \cos t$

X^{2} = pecado t

$x^2 = \sin t$

{\dot{X}}^{1} = - pecado t

$\dot{x}^1 = -\sin t$

{\dot{X}}^{2} = porque t

$\dot{x}^2 = \cos t$

y hacer

\int_{0}^{π / 2} \sqrt{(- pecado t)^{2} + (porque t)^{2}} d t = π / 2

$\int_0^{\pi/2} \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2}dt = \pi/2$

La parametrización 2D de una curva circular fue lo primero que pensé también. Pero esto solo demuestra que funciona. No mucho mas
@yayu Como dije, esta es la definición de longitud. ¿A qué te refieres con "demostrar que funciona"?
No, no es. Se define una métrica para el espacio localmente plano. Para una curva suave unidimensional obtenemos el elemento de línea. Suponiendo que un solo parámetro pueda definir la curva, mi pregunta es obtener la longitud de esta parametrización. Por "demostrar que funciona" quise decir que enchufaste y tragaste un segmento circular en $D=2$ y comprobé con conocimiento familiar que un cuadrante es un cuarto del perímetro.

david z · Answer 3

Bien, $\mathrm{d}l$ representa una longitud infinitesimal a lo largo de la curva. $\mathrm{d}t$ también representa una longitud infinitesimal a lo largo de la curva, aunque si las parametrizaciones $t$ y $l$ son diferentes, las dos longitudes infinitesimales no van a ser iguales. Puedes escribir la identidad. $\mathrm{d}l = \frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$ y sustituir en la definición de $\mathrm{d}l$ :

\frac{d yo}{d t} d t = \frac{\sqrt{d_{i j} d X^{i} d X^{j}}}{d t} d t

$\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\delta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$

Ahora, desde $\mathrm{d}x^{i(j)}$ y $\mathrm{d}t$ son longitudes positivas, puedes hacer un poco de manipulación algebraica:

\frac{d yo}{d t} d t = \sqrt{\frac{d_{i j} d X^{i} d X^{j}}{d t^{2}}} d t = \sqrt{d_{i j} {\dot{X}}^{i} {\dot{X}}^{j}} d t

$\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \sqrt{\frac{\delta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t^2}}\mathrm{d}t = \sqrt{\delta_{ij}\dot x^i\dot x^j}\mathrm{d}t$

Esto no es 100% matemáticamente riguroso, pero en física pensamos en derivadas y diferenciales como el límite de longitudes y proporciones finitas, por lo que al menos tiene sentido físico. Y siempre que su parametrización no sea singular, las matemáticas deberían mantenerse. (Si tiene una parametrización singular, entonces creo que el resultado que está preguntando aún se mantiene, aunque necesita recurrir a matemáticas más precisas para probarlo).

Eso es cierto, pero he obtenido un resultado gravemente incorrecto en el pasado al tratar las derivadas como fracciones. Lo pensaré, gracias por responder.
@yayu: sí, eso sucede a veces, por lo que agregué el último párrafo sobre parametrizaciones singulares. Básicamente, esto funciona siempre que puedas pensar en $\mathrm{d}l$ y $\mathrm{d}t$ como longitudes positivas y tomar el límite a medida que van a cero.
@yayu: nunca obtiene resultados incorrectos cuando usa la propiedad clave de diferenciales ( en.wikipedia.org/wiki/Differential_%28infinitesimal%29 ) en lugar de tratar derivados de fracciones (como indiqué en mi comentario a su pregunta). De hecho, el tema se llama geometría diferencial precisamente porque uno debe pensar en $dx$ como un diferencial (en lugar de un límite $\Delta x$ va a 0).

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