Relatividad General Forma Cerrada de 2 Cuerpos

No existe una solución general para el problema de los dos cuerpos en relatividad general.

¡Pero!

Hay algunas soluciones para problemas específicos de dos cuerpos. Estos incluyen la métrica de Curzon-Chazy (dos partículas en un eje cilíndricamente simétrico)

$ds^2 = e^{-2\psi} dt^2 - e^{2(\psi - \gamma)} (d\rho^2 + dz^2) - e^{2\psi} \rho^2 d\phi^2$

y la métrica Israel-Khan ("dos agujeros negros mantenidos en equilibrio por un puntal"). También de interés y relacionado con la métrica Israel-Khan:

"En un artículo de 1922, Rudolf Bach y Hermann Weyl [3] discutieron la superposición de dos soluciones exteriores de Schwarzschild en coordenadas de Weyl como un ejemplo característico para una configuración de equilibrio que consta de dos cuerpos "esfera" en reposo. Bach señaló que esta estática solución desarrolla una singularidad en la porción del eje de simetría entre los dos cuerpos, que viola la planitud elemental en este intervalo ".

El espacio-tiempo de Gott también está constituido por dos cuerdas cósmicas, si eso ayuda.

De "Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein", por cierto:

"En la teoría de Einstein, un sistema de dos cuerpos en equilibrio estático es imposible sin tales singularidades, una característica muy satisfactoria de esta teoría no lineal".

Editar: sé que todas son soluciones estáticas de dos cuerpos, y no orbitales, pero aquí radica el problema: las soluciones orbitales son horribles. Con una solución estática de 2 cuerpos, puedes mantener la simetría rotacional y la simetría temporal. Una vez que alcance la órbita completa, básicamente perderá todas las simetrías y también obtendrá ondas gravitacionales. Es entonces cuando las cosas se vuelven extremadamente no lineales y, por lo tanto, difíciles de resolver.

Simplemente no existe un problema de 2 cuerpos de forma cerrada en GR. La razon es la siguiente:

Las ecuaciones gobernantes de GR son las ecuaciones de campo de Einstein. Se obtiene el tensor métrico como solución a las ecuaciones de campo que describen la geometría local del espacio-tiempo, que a su vez está determinada por el tensor de energía-momento local que induce la curvatura del espacio-tiempo, etc.

Ahora, los únicos "cuerpos" que pueden moverse en el espacio-tiempo son las "partículas de prueba" que se mueven a lo largo de geodésicas similares al tiempo, que no distorsionan la curvatura del espacio-tiempo.

En la mecánica newtoniana, el problema de los 2 cuerpos es un cuerpo que ejerce una fuerza y, por lo tanto, una presión sobre otro cuerpo. En esta situación, puedes subir la presión tanto como quieras. En GR no se puede.

Digamos que tienes un objeto gravitacional fuerte como una singularidad de Schwarzschild. Tal espacio-tiempo es un espacio-tiempo vacío , lo que significa que el tensor de energía-momento es cero. Por lo tanto, los objetos que se mueven en las cercanías de esta singularidad, es decir, orbitan alrededor de ella, no pueden sentir ninguna fuerza, ya que eso inducirá una presión distinta de cero, ¡y ya no tendrás un espacio-tiempo vacío! Esencialmente, esa es la razón por la que no hay un problema bien definido de 2 cuerpos en GR y mucho menos una solución para uno :-)

Bajo el marco GR no existe una solución conocida.

Debido a que las estrellas y los planetas están evolucionando, podemos decir con certeza que existe un problema y una solución de 2 cuerpos bien definidos. GR se inventó para describir la gravedad en general y el problema comienza con la tentación de usar GR en campos locales.
La contradicción entre 'el espacio se expande' y 'las órbitas no se expanden' es parte de la 'no solución'.

Intentemos desentrañar el problema:
Hay dos puntos de vista opuestos para analizar la evolución del contenido de una botella.

• Algunos dirán que la botella está medio vacía. Están midiendo con la medida del espacio y ven claramente: el espacio se expande .
• Solo unos pocos, como yo, dicen: la botella está medio llena.
  Estoy midiendo con la cantidad de líquido y me queda clarísimo que: la materia se encoge . Por supuesto que mirando a nuestro alrededor vemos que el espacio se expande.

Usando el punto de vista estándar tenemos que introducir el 'parámetro de Energía Oscura', es específico a este punto de vista, complicando el problema cosmológico porque, inesperadamente, el campo gravitacional ya no es necesario para hacer del universo una entidad no disuelta. Durante décadas los libros aseveraron que como era de esperar y la aceleración de la expansión fue una sorpresa muy reciente y completa. Las órbitas nos aparecen como estáticas y aprendemos a decir: la expansión del espacio no es aplicable al local. Todo el mundo está bloqueado por este simple razonamiento: la cantidad de espacio entre dos ubicaciones distantes puede dividirse en una cantidad finita de 'local' y el espacio tuvo que dejar de expandirse, una contradicción. La definición/cuantificación de local es un problema abierto.

Debido a que estamos midiendo con átomos, comparando uno con otros, elegidos arbitrariamente como referencias, adopto el punto de vista 'por el contrario': 'La materia se está encogiendo'. Las órbitas se están ampliando según el modelo, y se permite que la Tierra y Marte tengan un pasado más cálido. No hay forma de distinguir el espectro de un átomo más grande de los espectros desplazados hacia el rojo de los que se alejan de nosotros porque todas las ecuaciones relevantes tienen un parámetro libre: la masa del electrón (las otras masas van en proporción).

Como nos engaña la evolución de las unidades de medida (los átomos) no podemos ver la materia encogiéndose ni el agrandamiento de las órbitas. Es un problema, y ​​una solución, muy similar al que enfrentó Galileo: todos ven que el Sol gira alrededor de la Tierra en 24 horas, entonces, ¿cómo convencer a todos de que el espacio no se está expandiendo cuando todos dicen eso durante casi 100 años?

Hay una derivación teórica y formal completa de mi punto de vista, mira en mi perfil.
Se esperan votos negativos emocionales. Los argumentos racionales en contra de mi punto de vista son bienvenidos.
Obs: Estoy ofreciendo una explicación a la 'expansión del espacio' y, que yo sepa, nadie más está avanzando en una 'causa probable'. La física consiste en sustituir preguntas por otras preguntas: ¿por qué los átomos se comportan así? y al principio? Cuál es el destino del universo. ¿Por qué un protón 'creado' hoy tiene el tamaño/masa de los demás y no cualquier otra masa?
Hay mucho ingenio en la posición que leemos a menudo: en física hay detalles que conocer, pero las teorías principales son sólidas como una roca.