Relaciones de incertidumbre, cantidades conjugadas y transformadas de Fourier

Cuando tienes un montón de fenómenos interrelacionados en física, tratar de averiguar cuál es la "razón" de los otros a menudo es solo una receta para la confusión. Diferentes personas comenzarán con diferentes postulados, por lo que estarán en desacuerdo sobre qué resultados son triviales y cuáles no, pero es de esperar que todos estén de acuerdo en lo que es cierto. En un primer curso de mecánica cuántica, un profesor podría definir la función de onda de base de momento simplemente como la transformada de Fourier de la función de onda de base de posición, de la que se puede derivar la relación de incertidumbre. En un curso más avanzado, podrían generalizar el concepto de la base del impulso a algo más abstracto o físico.

En la presentación estándar de QM, se postula que la relación definitoria entre los operadores de posición y momento es la relación de conmutación canónica$[x, p] = i \hbar$. De esto podemos derivar el Principio de Incertidumbre de Heisenberg de la relación de incertidumbre de Schrödinger

$$\sigma_A \sigma_B \geq \frac{1}{2} \left| \langle [A, B] \rangle \right|$$

sin necesidad de entrar en ninguna base en particular. Entonces, el principio de incertidumbre es mucho más general que solo aplicar a los operadores que obedecen las relaciones canónicas de conmutación o son transformadas de Fourier entre sí. Se podría decir razonablemente que la relación de conmutación no trivial es la "razón" de la relación de incertidumbre. Pero para el caso especial de los operadores conjugados canónicamente, pensar en la transformada de Fourier puede hacer que la relación de incertidumbre sea más intuitivamente clara que el resultado matemático abstracto anterior.

Con respecto a su pregunta sobre si "todas las cantidades conjugadas relacionadas por la relación de conmutación canónica [son] transformadas de Fourier", sí, hay un sentido en el que esto es cierto. Para dos operadores conjugados canónicamente$A$y$B$que actúan sobre un espacio de Hilbert$\{ | u \rangle \}$que puede ser indexado por un parámetro continuo$u$(que podría corresponder físicamente a la posición, al impulso o a otra cosa), una posible representación de la relación de conmutación en el$u$la base es$A \rightarrow u,\ B \rightarrow -i \hbar \frac{d}{du}$. En esta representación, las expresiones para cualquier función de onda en el$A$- y$B$- las bases serán transformadas de Fourier entre sí. Sin embargo, son posibles otras representaciones, que conducen a resultados físicamente equivalentes, pero funciones de onda que no son transformadas de Fourier entre sí. (Por ejemplo, otra representación sería$A \rightarrow u,\ B \rightarrow f(u) - i \hbar \frac{d}{du}$para cualquier función$f(u)$). En particular, el principio de incertidumbre se cumple en toda representación, ya que se sigue directamente de la relación de conmutación. La transformación entre diferentes representaciones de las relaciones de conmutación canónicas es un ejemplo de una "transformación de calibre".

El teorema de Stone-von Neumann dice muy aproximadamente que para cualquier operador$A$y$B$satisfaciendo la relación de conmutación canónica, puede salirse con la suya usando la representación estándar$A \rightarrow u,\ B \rightarrow -i \hbar \frac{d}{du}$sin pérdida de generalidad. (Más precisamente, dice que cualquier representación de la relación de conmutación canónica exponenciada en un espacio de Hilbert suficientemente suave es unitariamente equivalente a la representación estándar, por lo que cualquier otra representación básicamente describe la misma física en un sistema de coordenadas diferente).

Sí, esta no es la razón "verdadera". La razón directa es que no son operadores de desplazamiento. Véase la Relación Robertson-Schrodinger .

Terminas obteniendo que el producto de las incertidumbres está limitado por la mitad del valor absoluto de la falta de conmutación. En el caso de la posición y el momento esto es$\hbar/2$.