¿Por qué la posición y el espacio de momento son ejemplos de la dualidad de Pontryagin?

Question

¿Por qué la posición y el espacio de momento son ejemplos de la dualidad de Pontryagin?

dualidad
Física
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

Pratiush Rathore

https://en.wikipedia.org/wiki/Position_and_momentum_space

https://en.wikipedia.org/wiki/Pontryagin_dualidad

Estoy tratando de entender la lógica detrás del principio de incertidumbre. Y según tengo entendido, se sigue matemáticamente si asumimos que la función de onda en el espacio de momento es la transformada de Fourier de la función de onda en el espacio de posición. Traté de profundizar y descubrir por qué deberían estar relacionados, y la única explicación que pude encontrar fue la dualidad de Pontryagin.

una mente curiosa

Recordatorio: Los comentarios son para criticar o aclarar la pregunta, no para dar respuestas a medias. Varios comentarios eliminados.

Respuestas (4)

¿Por qué la posición y el espacio de momento son ejemplos de la dualidad de Pontryagin?

Recordatorio: Los comentarios son para criticar o aclarar la pregunta, no para dar respuestas a medias. Varios comentarios eliminados.

parker · Answer 1

En términos prácticos, la maquinaria completa de la dualidad de Pontryagin es mucho más avanzada de lo que los físicos necesitan para comprender el principio de incertidumbre. Hay varias formas de "derivar" que la función de onda espacio-momento es la transformada de Fourier de la función de onda espacio-posición, que dependen un poco de su elección de postulados iniciales. Aquí hay una ruta común:

Un postulado fundamental de partida común es la relación de conmutación $[\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar.$ La representación de posición-espacio más común de esta relación de conmutación es $\hat{x} \to x,\ \hat{p} \to -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ . En esta representación, tomando el producto interno de $\langle x |$ y la ecuación de valores propios $\hat{p} |p\rangle = p | p \rangle$ da la ecuación diferencial

- i ℏ \frac{d ψ_{pag} (X)}{d X} = pag ψ_{pag} (X),

$-i \hbar \frac{d\, \psi_p(x)}{dx} = p\, \psi_p(x),$ que tiene solución

ψ_{p} (x) = ⟨ x | p ⟩ \propto e^{(i p x) / ℏ}

$\psi_p(x) = \langle x | p \rangle \propto e^{(i p x)/\hbar}$ . Entonces para expresar un estado arbitrario

| ψ ⟩

$| \psi \rangle$ en la base de cantidad de movimiento, podemos usar la resolución de la identidad

ψ (pag) = ⟨ pag | ψ ⟩ = \int d X ⟨ pag | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ \propto \int d X {mi}^{- i pag X / ℏ} ψ (X),

$\psi(p) = \langle p | \psi \rangle = \int dx\ \langle p | x \rangle \langle x | \psi \rangle \propto \int dx\ e^{-ipx/\hbar} \psi(x),$ que es simplemente la transformada de Fourier. Esto se generaliza directamente a dimensiones superiores.

Por cierto, el hecho de que las funciones de onda del espacio de posición y del espacio de momento sean transformadas de Fourier entre sí (o, más precisamente, se puedan elegir para que sean transformadas de Fourier entre sí) da una buena intuición para la relación de incertidumbre, pero en realidad no es necesario para derivarlo. Todo lo que necesitas es la relación de conmutación, como explico aquí .

¿Puede explicar por qué creemos en la relación de conmutación y qué transmite? Leí sobre la conmutación por primera vez hoy y aunque intenté leer en línea, no he podido entenderlo. Además, si quiero aprender la notación matemática que está usando, [math]\hat{p}|p>[/math], ¿qué temas debo buscar? Gracias.
@PratyushRathore en.wikipedia.org/wiki/Bra%E2%80%93ket_notation
@PratyushRathore Preguntar por qué "creemos en" las relaciones de conmutación es esencialmente preguntar: ¿Por qué la mecánica cuántica?

flippiefanus · Answer 2

flippiefanus

Parece que uno puede tener una situación de huevo y gallina aquí. ¿Qué viene primero, la mecánica cuántica o la transformada de Fourier? De acuerdo con la respuesta de tparker, parece que uno debería tomar la mecánica cuántica como más fundamental y la transformada de Fourier se deriva de ella. Sin embargo, sospecho que es al revés.

Las propiedades de Fourier se impusieron más o menos en el momento en que Planck descubrió la relación entre energía y frecuencia. $E=\hbar\omega$ , que luego se extendió a una relación entre el momento y el vector de propagación ${\bf p}=\hbar{\bf k}$ . Debido a estas relaciones, los padres de la mecánica cuántica ampliaron todo en términos de ondas planas. Bueno, las ondas planas forman una base ortogonal. Por lo tanto, tal expansión se reduce a un análisis de Fourier. Como consecuencia, se obtiene la relación de incertidumbre de Heisenberg.

Sin embargo, uno también encuentra en la mecánica cuántica algunas relaciones de incertidumbre tipo Heisenberg que no parecen seguirse directamente de una relación de Fourier. Por ejemplo, considere la relación de incertidumbre asociada con el espín. Esto plantea la pregunta, ¿cuál es el principio subyacente que conduce a una relación de incertidumbre, que es compartida por el análisis de Fourier?

Este principio subyacente, en mi opinión, es la noción de bases mutuamente imparciales . Cualquier producto interno entre elementos de las respectivas bases mutuamente imparciales $\langle x|k\rangle$ da una magnitud constante, independiente de la elección de los elementos (la fase podría ser diferente). Cualquier estado con una representación particular en una base tendrá una representación en una base mutuamente imparcial que obedece a una relación de incertidumbre tipo Heisenberg; el ancho en términos de una representación sería inversamente proporcional al ancho en la otra representación.

¿Qué tiene esto que ver con el análisis de Fourier? Bueno, una transformada de Fourier es un vínculo entre representaciones en dos bases mutuamente imparciales. Esto se sigue del hecho de que para estas bases $\langle x|k\rangle=\exp(-ixk)$ , Lo que significa que $|\langle x|k\rangle|=constant$ . Esta propiedad, en última instancia, conduce a la relación de incertidumbre tal como la conocemos.

parker

Quizás su respuesta dependa de la frase "tal como lo conocemos", pero para mí el principio de incertidumbre es mucho más general que solo aplicar a bases mutuamente imparciales. Para dos operadores cualesquiera que no conmutan, tenemos la relación de incertidumbre

σ_{A} σ_{B} \geq | ⟨ [A, B] ⟩ | / 2

$\sigma_A \sigma_B \geq |\langle [A, B] \rangle| / 2$ . Esta declaración solo se refiere a los dos operadores en sí, pero para hablar de MUB necesita especificar dos conjuntos completos (ya menudo infinitos) de operadores, la gran mayoría de los cuales nunca usa. Esto parece una gran cantidad de equipaje innecesario.

parker

Todavía hay una relación de incertidumbre entre

σ_{x}

$\sigma_x$ y

σ_{x} + (1 / 2) σ_{y}

$\sigma_x + (1/2) \sigma_y$ , aunque no pertenezcan a ningún MUB.

flippiefanus

Gracias por tus comentarios @tparker. La forma en que lo entiendo es que los operadores

A

$A$ y

B

$B$ están asociados con bases propias, que son mutuamente imparciales si estos operadores no conmutan. Parte de

σ_{x} + σ_{y} / 2

$\sigma_x+\sigma_y/2$ obviamente viaja con

σ_{x}

$\sigma_x$ . Diría que la idea es determinar qué partes realmente no conmutan, que en este caso sería

σ_{x}

$\sigma_x$ y

σ_{y}

$\sigma_y$ .

Pratiush Rathore

¿Puede explicar el chat anterior y su respuesta para una audiencia menos madura? Específicamente, el ejemplo de @tparker, no sé cómo entenderlo. La noción de bases mutuamente imparciales es muy útil. Gracias.

parker

Entonces, ¿estás diciendo que a partir de cualquier colección de operadores, puedes hacer algo como el procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt, pero en lugar de deshacerte de los componentes paralelos de los vectores, te deshaces de partes de los operadores que conmutan con los operadores previamente considerados? ¿Y el resultado final de este proceso siempre será una base mutuamente imparcial de algún espacio de Hilbert? Eso es posible, pero soy escéptico de que haya un equivalente del producto interno de Gram-Schmidt que nos permita seleccionar de manera única "la parte de

B

$B$ que viaja con

A

$A$ ".

Hans

Estoy con @tparker aquí. Las bases mutuamente imparciales dan el límite inferior máximo en la versión entrópica del principio de incertidumbre, pero no son necesarias para que el límite inferior sea positivo. Siempre que las dos bases no sean permutaciones entre sí, el límite inferior es positivo, que es todo lo que requiere el principio de incertidumbre. Su último párrafo es incorrecto en eso

⟨ x | k ⟩ = \exp (- i x k)

$\langle x|k\rangle=\exp(-ixk)$ es una no constante en la transformada de Fourier.

flippiefanus

@tparker: La situación con dos operadores que no se desplazan aunque puede haber una parte de uno que se desplaza con el otro presenta desafíos, estoy de acuerdo. Sin embargo, traté de responder a la pregunta del OP con respecto a una comprensión más profunda y no a encontrar métodos para hacer los cálculos. No obstante, si la presentan los operadores de no desplazamiento

\hat{A}

$\hat{A}$ y

\hat{B}

$\hat{B}$ , propondría tratar de maximizar la no conmutación de una combinación lineal con uno de ellos. El resultado representaría entonces un par máximo que no conmuta con bases propias mutuamente imparciales.

flippiefanus

@Hans: No estoy seguro de lo que quiere decir con "requiere". No estoy tratando de proporcionar una prueba, sino más bien una comprensión. Tenga en cuenta que si

⟨ x | y ⟩ = \exp (- i x k)

$\langle x|y\rangle=\exp(-ixk)$ , entonces

| ⟨ x | y ⟩ | = 1

$|\langle x|y\rangle|=1$ , que es una constante.

parker

@Hans Sí, creo que te perdiste el signo de valor absoluto en la respuesta de flippiefanus.

Hans

Las bases mutuamente imparciales son para cualquier estado base

| e_{j} ⟩

$|e_j\rangle$ y

| f_{k} ⟩

$|f_k\rangle$ tal que

| ⟨ e_{j} | f_{k} ⟩ |^{2} = \frac{1}{d}, \forall j, k \in {1, \dots, d}

$|\langle e_j|f_k \rangle|^2 = \frac{1}{d}, \, \forall j,k \in \{1, \dots, d\}$ . Esto solo se logra para

min_{| f ⟩} max_{j, k} | ⟨ e_{j} | f_{k} ⟩ |

$\min_{|f\rangle}\max_{j,k}|\langle e_j|f_k \rangle|$ . Pero para que se cumpla el principio de desigualdad de incertidumbre, no se requiere que se logre el mínimo, sino solo que

max_{j, k} | ⟨ e_{j} | f_{k} ⟩ | < 1

$\max_{j,k}|\langle e_j|f_k \rangle|<1$ (donde la desigualdad es estricta). Como para

⟨ e_{j} | f_{k} ⟩

$\langle e_j|f_k \rangle$ , sí, me perdí el valor absoluto o el signo del módulo en su respuesta.

flippiefanus

@Hans: Creo que estás asumiendo que los elementos de las bases están normalizados, lo cual no es el caso aquí. No se pueden normalizar si

⟨ x | k ⟩ = \exp (- i k x)

$\langle x|k\rangle=\exp(-ikx)$ .

Hans

Puedes reemplazar

= \frac{1}{d}

$=\frac1d$ (que funciona para un espacio de dimensión finita) con una constante independiente de

(j, k)

$(j,k)$ en mi ultimo comentario. La parte decisiva es la

min max

$\min \max$ relación. Mi conclusión se mantiene. Parece decir que solo las bases mutuamente imparciales producen el principio de incertidumbre. Quiero señalar que este es solo un caso especial, y las bases mutuamente sesgadas, que constituyen la mayoría de los casos, también funcionan.

Hans

¿Entiendes lo que estoy diciendo? Las bases mutuamente imparciales son solo la manifestación extrema del principio de incertidumbre, mientras que casi todas las bases están sesgadas y manifiestan el principio de incertidumbre. Entonces su descripción es extremadamente incompleta.

flippiefanus

@Hans: para ser honesto, no sigo tu explicación. ¿Puede tal vez proporcionar algún enlace o referencia? Una cosa: la relación min max que diste en términos de

j, k

$j,k$ debe basarse en estados propios normalizables. Además: hasta donde puedo determinar, ( en.wikipedia.org/wiki/Entropic_uncertainty ) la incertidumbre entrópica se deriva de la transformada de Fourier, lo que implica una base mutuamente imparcial.

Hans

Ver Ecuación (6), el teorema principal y su generalización, de Maassen, H.; Uffink, J. (1988). "Relaciones generalizadas de incertidumbre entrópica". Cartas de revisión física. 60 (12): 1103–1106. como se cita en la página de wikipedia citada por su último comentario.

flippiefanus

@Hans: Gracias por la referencia. Le echaré un vistazo. Sin embargo, parece similar a la derivación de wikipedia, que asume el análisis de Fourier y, por lo tanto, implica una base mutuamente imparcial.

Hans

No. ¿Dónde viste la transformación de Fourier en ese artículo? La versión del artículo de wikipedia se refiere a la transformada de Fourier de

L^{2} (R)

$L^2(R)$ un caso especial de un espacio de Hilbert. La versión de Maassen y Uffink es una generalización a un espacio general de Hilbert --- su versión es de dimensión finita pero la derivación debe pasar a una dimensión infinita con la convergencia adecuada. Se basa en el teorema de desigualdad de interpolación de Riesz-Thorin, una generalización de la desigualdad de Babenko-Beckner en la que se basa la versión de transformada de Fourier antes mencionada. ¿Podría leer el documento primero y luego discutirlo?

retraso de pila · Answer 3

Intentaré abordar esta cuestión desde un punto de vista que sea útil a la hora de construir la intuición. Por lo tanto, vea las respuestas de otras personas y las referencias en Wikipedia para completar los detalles técnicos.

Primero un comentario sobre la construcción de teorías. Gran parte de la física teórica comienza como una corazonada de alguien, o una conjetura educada. Luego, ve si puede formalizar lo que cree que debería ser el caso y usa el nuevo marco para hacer predicciones que se prueban con experimentos (idealmente). Luego, las iteraciones fortalecerán su marco o demostrarán que es inviable. Inevitablemente, las teorías contendrán algunos axiomas (afirmaciones que asumes como verdaderas sin probarlas). Tenga en cuenta que estos axiomas no son necesariamente únicos, y lo que elige como axioma y lo que es un teorema (consecuencia de los axiomas) es algo ambiguo; la distinción puede depender de sus gustos personales (aunque comúnmente existe cierto consenso en un campo).

Un posible axioma para la Mecánica Cuántica es que: un estado de un sistema puede describirse como una "función de onda" sobre las coordenadas espaciales, como xyz . (Este axioma generalmente se generaliza y se expresa en términos de espacios de Hilbert).

Entonces, si un estado de un sistema físico (como una partícula) se modela con una función , es posible que se pregunte qué puede hacer con esta función y qué puede decirle. Una cosa obvia que puedes hacer con las funciones es descomponerlas como sumas. Como considerar por ejemplo las funciones $f$ , $g$ y $h$ .

F (X) = X^{2} + 5 X; gramo (X) = X; h (X) = X^{2}

$f(x) = x^2 + 5x \hspace{10pt};\hspace{10pt} g(x) = x \hspace{10pt};\hspace{10pt} h(x) = x^2$

Claramente, $f$ se puede expresar como una suma de $g$ y $h$ ; si tomas 5 de $g$ y 1 de $h$ . Pero hay formas mucho más sofisticadas de hacer exactamente lo mismo. como en un intervalo $x \in[a,b]$ , cualquier función se puede expresar como una suma infinita de senos y cosenos. Esta es la idea detrás de la serie de Fourier . Entonces puedes preguntarte si lo mismo es posible en un intervalo infinito, $x\in[- \infty, \infty]$ , y resulta que lo es. Esta es la idea de las transformadas de Fourier . Claramente, cuando haga esto, se dará cuenta de muchos tecnicismos, que son importantes cuando se trata de transformadas de Fourier. Pero en espíritu estás haciendo lo mismo que en el ejemplo trivial anterior.

Cuando haces una transformada de Fourier, cómo mezclar las funciones (como 1 de $g$ y 5 de $h$ en el ejemplo) se resume en una segunda función, llamada "transformar". Esta función no puede ser una función de $x$ (claramente), entonces es una función de otra cosa, llamemos a la variable $k$ y la funcion $\tilde{f}(k)$ . Luego puede volver a su teoría física y preguntar si $\tilde{f}(k)$ tiene algún tipo de significado físico. Quiero decir, si te dice algo útil sobre tu sistema.

Resulta que sí; $k$ en realidad está asociado con el impulso $p$ de su sistema Dónde $p = \hbar k$ le da las predicciones correctas en comparación con el experimento. Además de eso, se relaciona muy bien con otras teorías existentes y otras ideas que usted considera verdaderas.

Tus amigos que hacen los experimentos luego regresan y te dicen que parece que no pueden precisar simultáneamente el impulso y la posición de una partícula. Y respondes que sabes por qué. Que es una consecuencia del hecho de que las partículas se modelan mejor mediante funciones, y una función bien localizada en $x$ se convierte en una función no localizada en $k$ (que es básicamente $p$ ), y viceversa. Luego, al realizar algunas investigaciones adicionales sobre la teoría de las transformadas de Fourier, encontrará que la función que es simultáneamente "la más localizada" en ambos $x$ y $k$ es la función gaussiana , y de esa función se concluye que $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$ , dónde $\Delta x$ es la desviación estándar en $x$ , y $\Delta p$ es la desviación estándar en $p$ .

Luego te preparas una taza de café y esperas una llamada telefónica de Estocolmo.

[Editar a continuación:]

La idea que $p = \hbar k$ se llama la hipótesis de De Broglie , y se puede obtener una intuición acerca de por qué alguien (como De Broglie) sugeriría esta hipótesis al considerar la relatividad especial. Básicamente: si tiene una onda estacionaria alternando en sincronía, y viaja a través de ella a cierta (alta) velocidad, la pérdida de simultaneidad significará que la onda gana una frecuencia espacial, así como un impulso (en relación con usted).

Vea este recurso para algunas animaciones bonitas y más explicaciones: 3blue1brown sobre el principio de incertidumbre .

esfera segura · Answer 4

esfera segura

Cada incertidumbre es un reflejo de una simetría fundamental existente en la naturaleza. Por ejemplo, según el teorema de Noether, la simetría temporal conduce a la conservación de la energía, mientras que la simetría de traslación espacial conduce a la conservación del impulso. El reflejo cuántico de estas simetrías es la incertidumbre de tiempo/energía y posición/momento. Si bien el teorema de Noether se limita a solo unas pocas simetrías por razones técnicas, revela la conexión entre las simetrías y las leyes de conservación y da una idea de la naturaleza de la incertidumbre.

parker

Las simetrías continuas y sus generadores siempre tienen un conmutador igual a

i ℏ

$i \hbar$ , pero el principio de incertidumbre se cumple de manera más general para operadores con un conmutador arbitrario distinto de cero.

esfera segura

@tparker No estoy en absoluto en desacuerdo con su comentario, excepto por un punto muy importante: no se aplica a mi respuesta. Lea mi respuesta detenidamente y dígame dónde establece exactamente lo que está objetando. Puedo ver cómo uno puede hacer esta conexión leyendo sin prestar atención y haciendo suposiciones mentales de que la respuesta dice lo que en realidad no dice. Por ejemplo, ¿dónde me ves conectando la incertidumbre con simetrías específicamente continuas? Elimine el voto negativo inmerecido, se lo agradecería. Mi respuesta es elogiosa y no contradice la tuya.

una mente curiosa

Su primera oración establece claramente que cree que cada incertidumbre está relacionada con una "simetría fundamental existente". Esto es precisamente a lo que se opone tparker - esto es a menudo cierto para los principios de incertidumbre de la forma

. . . \geq i ℏ

$...\geq \mathrm{i}\hbar$ pero no tiene por qué serlo (!), y simplemente falso para la mayoría de los pares de operadores que uno podría mirar. En segundo lugar, la incertidumbre de "tiempo/energía" no debe tratarse como si fuera del mismo tipo que la incertidumbre de posición/cantidad de movimiento, cf. physics.stackexchange.com/a/53804/50583 para el significado bastante diferente de "

Δ t

$\Delta t$ " ahí.

esfera segura

Sí, cada incertidumbre representa una simetría, pero no necesariamente continua. Esto es bastante obvio, ya que cualquier incertidumbre es para un par de conjugados de Fourier, mientras que una relación de Fourier puede verse como una simetría. En segundo lugar, la simetría de tiempo/energía y la incertidumbre son absolutamente del mismo tipo que la posición/momento, si los miras de la manera correcta. El tiempo es una coordenada del espacio-tiempo junto con las coordenadas del espacio. La energía y el mimentun son componentes de 4-momentum. Ambas simetrías están entre una coordenada y la correspondiente componente de 4-momentum, exactamente el mismo tipo de simetría.

esfera segura

Veo dónde puede estar la confusión. La simetría utilizada en el teorema de Noether no es la simetría de la que estoy hablando. Por ejemplo, según Noether, el impulso se conserva si el espacio tiene una simetría de traslación continua. La simetría en el teorema es solo para la posición mientras el impulso es constante. Este es un caso especial limitado de la simetría general de posición/momento donde el espacio no es uniforme y la simetría de traslación del espacio no está presente, pero la simetría de posición/momento aún se mantiene. Esto nos permite representar la curvatura del espacio como un "campo de fuerza" en un espacio plano y restaurar la conservación.

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Pratiush Rathore

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