¿Existe una relación matemática entre los conjugados de Legendre y los conjugados de Fourier?

Question

¿Existe una relación matemática entre los conjugados de Legendre y los conjugados de Fourier?

Física
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

reduccionista

En mecánica cuántica, existe un principio de incertidumbre entre variables conjugadas, lo que da lugar a descripciones complementarias de un sistema cuántico. Pero las variables son conjugadas en dos sentidos matemáticos diferentes.

Un sentido en el que son conjugados es con respecto a la transformada de Legendre de un lagrangiano en un hamiltoniano (donde se introducen coordenadas de momento generalizadas).

Y en otro sentido son conjugados con respecto a una transformada de Fourier. Parece obvio por qué ser conjugados en este segundo sentido daría como resultado un principio de incertidumbre y daría lugar a dos descripciones duales del sistema. Lo mismo sucede con cualquier tipo de ondas. En el procesamiento de señales digitales, estos se conocen como el dominio de la frecuencia y el dominio del tiempo. En la física del estado sólido, el espacio k se denomina "red recíproca" o "red dual", ya que es una descripción dual del espacio de posición que utiliza el número de onda k conjugado de Fourier como base. De hecho, las transformadas de Fourier son solo un caso especial de la dualidad de Pontryagin.

Lo que no es obvio para mí es por qué o cómo se conectan estos dos sentidos diferentes de conjugación. ¿Hay una conexión matemática real? ¿O es solo una suposición ad hoc de la mecánica cuántica que cuando ve los conjugados de Legendre, debe convertirlos automáticamente en conjugados de Fourier imponiendo relaciones de conmutación canónicas? ¿Hay alguna otra forma, además de simplemente aceptar esto como un postulado, para entender esta conexión? Si no, ¿no podría haber una versión consistente de la mecánica cuántica donde otros tipos de pares de variables se hicieran conjugados de Fourier en el espacio de Hilbert, en lugar de usar conjugados de Legendre?

una mente curiosa

Nunca me cansaré de decir esto: las relaciones de incertidumbre de la mecánica cuántica son mucho más generales que las que existen entre las variables conjugadas de Fourier. Puede entender por qué la incertidumbre de Fourier se parece a la incertidumbre de la mecánica cuántica si observa que el teorema de Stone-von Neumann esencialmente dice que los operadores con las relaciones de conmutación canónicas están representados únicamente por variables conjugadas de Fourier.

Emilio Pisanty

¿Por qué crees que están conectados? La dualidad de Legendre es de hecho una cosa, pero el dual de Legendre del impulso es la velocidad, no la posición.

Respuestas (2)

¿Existe una relación matemática entre los conjugados de Legendre y los conjugados de Fourier?

Nunca me cansaré de decir esto: las relaciones de incertidumbre de la mecánica cuántica son mucho más generales que las que existen entre las variables conjugadas de Fourier. Puede entender por qué la incertidumbre de Fourier se parece a la incertidumbre de la mecánica cuántica si observa que el teorema de Stone-von Neumann esencialmente dice que los operadores con las relaciones de conmutación canónicas están representados únicamente por variables conjugadas de Fourier.
¿Por qué crees que están conectados? La dualidad de Legendre es de hecho una cosa, pero el dual de Legendre del impulso es la velocidad, no la posición.

qmecanico · Answer 1

I) Bueno, la transformación de Legendre puede verse, por ejemplo, como la fórmula clásica líder a nivel de árbol de una transformación de Fourier semiclásica formal .

Este hecho se usa, por ejemplo, en QFT cuando se relaciona la acción cuántica $S[\varphi]$ , la función de partición $Z[J]$ , generando funcional $W_c[J]$ para diagramas conectados, y la acción efectiva $\Gamma[\Phi]$ .

II) Para ver la correspondencia en detalle, dejemos $x$ y $p$ sean las dos variables duales/conjugadas (¡en ambos sentidos!). Dejar

\begin{matrix} (1) & F (X; ℏ) \equiv \sum_{norte = 0}^{\infty} ℏ^{norte} F_{norte} (X) y gramo (pag; ℏ) \equiv \sum_{norte = 0}^{\infty} ℏ^{norte} {gramo}_{norte} (pag) \end{matrix}

$\tag{1} f(x;\hbar)~\equiv~\sum_{n=0}^{\infty}\hbar^n f_n(x)\quad\text{and}\quad g(p;\hbar)~\equiv~\sum_{n=0}^{\infty}\hbar^n g_n(p)$

sean dos series de potencias formales en $\hbar$ con coeficientes de función. Considere sus exponenciales semiclásicos

\begin{matrix} (2) & F (X; ℏ) := {mi}^{i F (X; ℏ) / ℏ} y GRAMO (pag; ℏ) := {mi}^{i gramo (pag; ℏ) / ℏ} . \end{matrix}

$\tag{2} F(x;\hbar)~:=~e^{if(x;\hbar)/\hbar}\quad\text{and}\quad G(p;\hbar)~:=~e^{ig(p;\hbar)/\hbar}.$

Ahora suponga que

\begin{matrix} (3) & GRAMO (pag; ℏ) = \int d X {mi}^{- i pag X / ℏ} F (X; ℏ) \end{matrix}

$\tag{3} G(p;\hbar)~=~\int \! dx~ e^{-ipx/\hbar} F(x;\hbar)$

es la transformada de Fourier de $F(x;\hbar)$ . Podemos usar la aproximación WKB/fase estacionaria para deducir que las partes clásicas $f_0(x)$ y $-g_0(p)$ son entonces Legendre duales entre sí, es decir

\begin{matrix} (4) & {gramo}_{0} (pag) = - pag X + F_{0} (X) dónde pag = F_{0}^{'} (X), \end{matrix}

$\tag{4} g_0(p) ~=~ -px+f_0(x)\quad\text{where}\quad p~=~f_0^{\prime}(x),$

para una función suficientemente agradable $f_0(x)$ .

Gracias, eso es muy interesante. Pero todavía me pregunto si la suposición inicial de que x y p son conjugados de Fourier (es decir, que tienen las relaciones de conmutación canónicas habituales entre ellos) es un axioma que debe aceptarse por motivos puramente empíricos o si se sigue de alguna manera del hecho de que son conjugados de Legendre. Comenzó con una supuesta conexión entre x y p y luego mostró que cualquier función de ellos que sea conjugada de Fourier debe ser conjugada de Legendre a nivel de árbol. ¿Podemos decir algo similar sobre x y p sin ser circulares?

reduccionista · Answer 2

Creo que he descubierto la respuesta a mi propia pregunta.

Parece que la conexión entre los dos se origina a partir de la formulación integral de la mecánica cuántica de Feynman.

Para ver cómo, supongamos por un momento que nunca hemos oído hablar de la ecuación de Schrödinger y no sabemos cuáles son las relaciones de conmutación entre x y p o que los estados en esas bases están relacionados por transformadas de Fourier. En cambio, todo lo que sabemos es que hay alguna cuadrática lagrangiana en $\dot{x}$ y que la manera de evolucionar un estado inicial en el tiempo t_i a un estado final en el tiempo t_f es integrar $\exp(iS)$ sobre todos los caminos desde $x(t_i)$ a $x(t_f)$ . Donde la acción S es la integral de tiempo del Lagrangiano a lo largo de un camino.

Si considera el límite de un intervalo de tiempo muy pequeño entre $t_i$ y $t_f$ , entonces el integrando de la integral de trayectoria se convierte en:

Exp (i (pag \dot{X} - H) Δ t) = Exp (i pag Δ X) Exp (- i H Δ t)

$\exp(i(p\dot{x}-H)\Delta t) = \exp(ip\Delta x)\exp(-iH\Delta t)$

dónde $\Delta t = t_f - t_i$ y $\Delta x = x_f - x_i$

El lado izquierdo demuestra la relación de conjugación de Legendre entre x y p, mientras que el lado derecho demuestra la relación de conjugación de Fourier entre x y p. Si parte de la suposición de que solo estamos reescribiendo la acción en términos del hamiltoniano, realizando una transformación de Legendre, entonces termina con un producto de dos factores. El $\exp(iH\Delta t)$ factor puede interpretarse como la Ecuación de Schrödinger, mientras que el $\exp(ip\Delta x)$ El factor se puede interpretar como una transformada de Fourier que le indica cómo se relacionan los estados de impulso con los estados de posición. El hecho de que se requiera una transformada de Fourier para cambiar de base x a p mientras se suman los estados es equivalente a las relaciones canónicas de conmutación entre x y p; por lo tanto, se puede considerar que ambos, así como la ecuación de Schrödinger, se derivaron del supuesto inicial de la integral de trayectoria.

En resumen, parece que la relación matemática entre los conjugados de Fourier y Legendre es algo análoga a la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie. La ecuación de Schrödinger en términos del hamiltoniano, donde x y p son conjugados de Fourier, te da la regla infinitesimal para la evolución del tiempo. Mientras que la integral de ruta de Feynman, donde x y p son conjugados de Legendre, le brinda la versión exponenciada de esta regla que le indica cómo conectar un estado inicial a un estado final después de una cantidad de tiempo finita. Uno te habla de las propiedades locales mientras que el otro te habla de las propiedades globales, pero ambos dicen lo mismo.

Esto parece que probablemente esté relacionado con la respuesta de @ Qmechanic, pero no estoy seguro de cómo exactamente.

¿Existe una relación matemática entre los conjugados de Legendre y los conjugados de Fourier?

reduccionista

una mente curiosa

Emilio Pisanty

Respuestas (2)

qmecanico

reduccionista

reduccionista

¿Se infirió el principio de incertidumbre mediante el análisis de Fourier?

¿Ejemplo muy simple de la forma en que se usa la transformada de Fourier en la mecánica cuántica?

¿Cómo se le ocurrió a Heisenberg la relación de conmutación canónica (X^P^−P^X^=iℏX^P^−P^X^=iℏ\hat X \hat P-\hat P\hat X=i\hbar) ?

¿De qué se trata el principio de incertidumbre de Heisenberg haciendo declaraciones?

Importancia física de la transformada de Fourier y las relaciones de incertidumbre

Relaciones de incertidumbre, cantidades conjugadas y transformadas de Fourier

¿Por qué la posición y el espacio de momento son ejemplos de la dualidad de Pontryagin?

Dispersión de un paquete de ondas gaussianas: ¿por qué el impulso se vuelve más seguro?

Algunas preguntas sobre paquetes de ondas y relaciones de incertidumbre

Principio de incertidumbre para una partícula totalmente localizada