Importancia física de la transformada de Fourier y las relaciones de incertidumbre

Una respuesta muy breve: la transformada de Fourier, tal como se usa en la física cuántica, interpreta un punto en un conjunto de tres coordenadas como un amplio espectro en otro conjunto de tres coordenadas, y viceversa. Esta es la relación de incertidumbre, ya que significa que cuando el objeto es puntual en un conjunto de coordenadas (espacio, por ejemplo) se vuelve vasto y difuso en el otro (momentum, por ejemplo).

Para hacerlo un poco más preciso, debe dejar de pensar en las transformadas de Fourier como gráficos sinusoidales planos y, en cambio, pensar en ellos como si tuvieran valores complejos, es decir, como si tuvieran valores de fase en un plano (dos ejes más en realidad) que es ortogonal. a los otros tres. De esta forma, un objeto que se estira a lo largo de un eje, digamos X, se parece más a un slinky estirado si agrega las dos coordenadas complejas y se mueve a lo largo de X. Las diversas ecuaciones de continuidad de la física simplemente dicen que las bobinas de cualquier furtivo como para permanecer tan suave y sin dobleces como sea posible. (Los slinkies también giran alrededor de su eje según la masa del objeto, pero ese es un problema diferente).

Si tal slinky es infinitamente largo en X y perfectamente suave en alguna frecuencia de enrollamiento, representa una partícula cuya función de onda es infinitamente larga en X, y cuya probabilidad de encontrarla en cualquier punto es esencialmente cero. Esa es la incertidumbre de la posición, el peor caso posible.

Pero es la frecuencia de enrollamiento lo que es más importante para la incertidumbre, porque esa frecuencia representa el momento de la partícula paralela al eje X. Si el bobinado es perfectamente regular, solo hay una de esas frecuencias, y podría mapearla en la salida de frecuencia (estilo de marcación de radio) en otro triplete de ejes etiquetados$p_x$,$p_y$, y$p_z$. Ese es el espacio de momento, la otra cara de la moneda de Fourier.

En ese espacio, la partícula tiene una ubicación muy precisa, que es la ubicación de esa frecuencia particular a lo largo del eje de momento.$p_x$.

Pero, ¿y si lo intentas al revés? Es decir, ¿qué pasa si construyes una hélice similar usando las mismas reglas de agregar un plano complejo perpendicular a$p_x$y creando allí una bobina muy larga y muy regular. (Aquí hay una hermosa simetría en la física, porque resulta que el espacio de momento tiene reglas de continuidad y suavidad muy parecidas a las del espacio XYZ regular, a pesar de algunos significados diferentes de ellas).

Bueno, sucede casi exactamente lo mismo, solo que al revés: la bobina larga y precisa en el espacio de impulso también tiene una frecuencia precisa, que también tiene una interpretación en el espacio XYZ como una ubicación precisa. Y nuevamente, tener la bobina estirada en el espacio de cantidad de movimiento significa que es difícil encontrar la partícula allí; podría estar con la misma probabilidad en casi cualquier lugar a lo largo de la bobina, lo que significa que podría tener casi cualquier impulso. Entonces, en este caso, estar "inseguro" sobre la ubicación de la partícula en el espacio de cantidad de movimiento significa que tiene una ubicación muy precisa en el espacio regular.

La simetría es simplemente hermosa y tiene muchas implicaciones reales en la física. Los metales, por ejemplo, son sustancias en las que los pares de electrones existen más en el espacio de momento que en el espacio regular, lo que hace que algunos de ellos tengan momentos (energías) muy altos y que todos ellos se distribuyan de manera extraña sobre un cristal de metal. Los de alta energía hacen que el metal sea reflectante, el movimiento (momenta) de los electrones lo hace conductor, y la deslocalización de los electrones se combina con la cancelación de carga para crear propiedades bastante notables como la resistencia a la tracción (¡se adhiere firmemente!) y la ductilidad ( es más fácil doblarse cuando la mitad de las cargas están siempre en movimiento).

Pero mientras que la parte de Fourier de esta simetría entre los espacios XYZ y de cantidad de movimiento es exacta, el significado de las frecuencias en los dos espacios es todo lo contrario. La mayor diferencia es que, mientras que el tamaño de un objeto en el espacio XYZ no tiene grandes implicaciones energéticas, el tamaño en el espacio de impulso tiene enormes implicaciones, porque un mayor impulso significa una mayor energía. Por lo tanto, cuanto más tiempo se vuelve un slinky (más propiamente llamado función de onda) en el espacio de momento, mayor es la energía de la partícula.

Y, dado que la longitud del slinky en el espacio de impulso determina a través de la transformada de Fourier con qué precisión se puede colocar en el espacio XYZ normal, las posiciones extremadamente precisas tienen un costo, un costo muy alto. El acelerador lineal de Stanford, por ejemplo, tiene que acelerar los electrones a velocidades extremadamente altas (momentos) porque es la única forma de hacer que las ubicaciones de los electrones sean lo suficientemente precisas para sondear las entrañas de partículas como los neutrones y los protones.

Curiosamente, no se acumula tal costo cuando las partículas se pierden en el espacio XYZ regular. Entonces, un electrón que deambula por el cosmos puede, en principio, ser representado por un slinky muy grande con una frecuencia muy precisa, si algo (por ejemplo, la difracción) lo alienta a formarse de esa manera. Pero a pesar de que el costo de la energía es bajo, tales funciones de onda son inestables por una razón muy diferente: cualquier tipo de interacción que imparta información entre ellas y otra materia hace que la función de onda sea irrelevante (sí, estoy tratando de evitar entrar en escuelas de doctrina cuántica con esa redacción cuidadosa) y para todos los propósitos prácticos una función de onda mucho más pequeña. Simplemente no demasiado pequeño, ya que solo la energía de la interacción está disponible para alterar la forma difusa original.

Y nuevamente, para traer todo eso de vuelta a casa: es la transformada de Fourier y su capacidad para decir qué tan bien cada frecuencia "coincide" con una forma furtiva en cualquiera de los espacios lo que crea esta interpretación de ida y vuelta entre los dos, y por lo tanto genera incertidumbre cuántica.