¿Cómo se le ocurrió a Heisenberg la relación de conmutación canónica (X^P^−P^X^=iℏX^P^−P^X^=iℏ\hat X \hat P-\hat P\hat X=i\hbar) ?

Veo que publicó correctamente su pregunta y obtuvo su respuesta en Historia de la ciencia SE . En la medida en que no haya eliminado la pregunta de aquí, deduzco que está pidiendo ayuda con la lógica evidente detallada en el artículo de WP . Cualquier buen texto de mecánica de matrices, incluido el excelente y elegante libro de Herbert Green citado en WP, lo guiará a través de él. Aquí, solo lo ayudaré a reconocer el patrón, casi seguro que ya lo conoce del espacio de Fock del oscilador. ¡Ciertamente no vamos a resolver el acertijo de sudoku completo para el que el genio intuitivo de Born adivinó la respuesta, para avanzar de manera crucial en nuestra civilización! (Él "se convenció [a sí mismo] de que los elementos de la matriz fuera de la diagonal tenían que desaparecer"...)

Ya vio que la antigua condición de Bohr impone movimientos periódicos en un círculo y, por lo tanto, la estructura del modo discreto de Fourier que anotó, con, significativamente,$\omega_{mn}=-\omega_{nm}$y coeficientes reales$X_{mn}$y$P_{mn}$. Como resultado, la reflexión a través de la diagonal producirá la fase opuesta en la exponencial del modo , y la multiplicación de matrices preservará la estructura, es decir, las matrices de productos tendrán las mismas fases en una ubicación de matriz dada que cada factor. (Estoy seguro de que hay un término matemático respetable para esto, pero no lo sé. Es una característica de la transformación de similitud unitaria con respecto a los operadores de evolución temporal).

Entonces, para el espectro lineal del oscilador, todas estas fases son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental ω, y la energía se "conserva" en cada multiplicación de matriz. La integración a lo largo del ciclo en la condición de Bohr elimina todos y cada uno de los armónicos y proyectos dependientes del tiempo en el subespacio de frecuencia cero.

Ahora sabe (por ejemplo, de Messiah's vI, XII, §5, o su texto favorito) la diagonal de representación de Fock en el operador numérico,$a^\dagger a$=diag(0,1,2,3,..), donde

$$a= \left(\begin{matrix} 0&\sqrt{1}&0&\cdots\\ 0& 0& \sqrt{2}&\cdots\\ 0 &0&0 &\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right)$$ tal que, directamente, junto con su conjugado hermitiano, dictan $$\hat X(t)=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \left(\begin{matrix} 0&\sqrt{1} e^{i\omega t}&0&\cdots\\ \sqrt{1} e^{-i\omega t}&0&\sqrt{2} e^{i\omega t}&\cdots\\ 0&\sqrt{2} e^{-i\omega t}&0\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right)$$ la evolución temporal de (5.37) en el libro de Merzbacher y, del mismo modo, $$\hat P(t)=-im\omega \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \left(\begin{matrix} 0&\sqrt{1} e^{i\omega t}&0&\cdots\\ -\sqrt{1} e^{-i\omega t}&0&\sqrt{2} e^{i\omega t}&\cdots\\ 0&-\sqrt{2} e^{-i\omega t}&0\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right),$$ ambos hermitianos. La fase cuántica del estado fundamental se ha desvanecido en la transformación de similitud general y he invertido el signo de la frecuencia común, por simplicidad, inmaterialmente para nuestro propósito aquí.

Ahora, si le gusta la complicación, puede multiplicar sus matrices originales en dos órdenes diferentes, pero, para ilustrar el punto, hagámoslo con las del oscilador, aquí,

$$\hat X(t)\hat P(t) =-i \frac{\hbar}{2 } \left(\begin{matrix} 0&\sqrt{1} e^{i\omega t}&0&\cdots\\ \sqrt{1} e^{-i\omega t}&0&\sqrt{2} e^{i\omega t}&\cdots\\ 0&\sqrt{2} e^{-i\omega t}&0\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 0&\sqrt{1} e^{i\omega t}&0&\cdots\\ -\sqrt{1} e^{-i\omega t}&0&\sqrt{2} e^{i\omega t}&\cdots\\ 0&-\sqrt{2} e^{-i\omega t}&0\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right)\\ =-i \frac{\hbar}{2 } \left(\begin{matrix} -1&0&\sqrt{2} e^{i2\omega t}&\cdots\\ 0&-1& 0&\cdots\\ -\sqrt{2} e^{-i2\omega t}& 0&-1\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right).$$ Aquí, las contribuciones de fuera del subespacio 3×3 se han truncado, ya que no se comportarán de manera diferente, a continuación, que las que tienen índices 1,2,3, mantenidos.

Restando el conjugado hermitiano de esto se obtiene el célebre

$$\hat X(t)\hat P(t) - \hat P(t) \hat X(t) =i \hbar \operatorname{diag} (1,1,1,...),$$ ¡ Donde está invitado a notar la cancelación automática de todos los términos no diagonales (dependientes del tiempo)!

Esto se ilustra aquí para el subespacio de 3 × 3 del suelo y los dos primeros estados excitados que está representando explícitamente, pero la sistemática debería ser evidente. La estructura era familiar para los mejores físicos matemáticos de esa generación que manejaban modos normales en tambores vibrantes, etc. Las técnicas espaciales de Hilbert para esto se estaban desarrollando "al lado", en el departamento de matemáticas de Hilbert, donde Jordan ya había tenido su aprendizaje. con Courant.