Algunas preguntas sobre paquetes de ondas y relaciones de incertidumbre

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Algunas preguntas sobre paquetes de ondas y relaciones de incertidumbre

Física
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

dargscisyhp

Según Cohen-Tannoudji, la función de onda para una partícula libre unidimensional se puede escribir como

ψ (X, 0) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int gramo (k) {mi}^{i k X} d k .

$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int g(k) e^{ikx} dk.$

Mientras $g(k)$ no se especifica, hay una imagen de su valor absoluto en el libro y parece gaussiana, con un pico en $k=k_0$ . Dicen que podemos escribir

gramo (k) = | gramo (k) | {mi}^{i α (k)},

$g(k) = |g(k)| e^{i \alpha (k)},$

dónde $\alpha(k)$ varía suavemente en el intervalo $\left[ k_0 - \frac{\Delta k}{2}, k_0 + \frac{\Delta k}{2} \right]$ sobre cual $|g(k)|$ es apreciable Continúan afirmando que si $\Delta k$ es lo suficientemente pequeño y luego se expande $\alpha(k)$ acerca de $k_0$ nos permite aproximar la función de onda como

ψ (X, 0) \approx \frac{{mi}^{i [k_{0} X + α (k_{0})]}}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} | gramo (k) | {mi}^{i (k - k_{0}) (X - X_{0})} d k,

$\psi (x,0)\approx \frac{e^{i \left[k_0 x + \alpha(k_0) \right]}}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{\infty} |g(k)| e^{i(k-k_0)(x-x_0)} dk,$

dónde

X_{0} = - {[\frac{d α}{d k}]}_{k = k_{0}} .

$x_0=-\left[\frac{d \alpha}{dk} \right]_{k=k_0}.$

La lógica detrás de ponerlo en este formato es mostrar que si $x$ varía considerablemente de $x_0$ el gran número de oscilaciones en el intervalo k dado tenderá a hacer que la integral sea bastante pequeña. Sin embargo, si $x$ esta cerca de $x_0$ $g(k)$ no oscilará en el intervalo dado y $\psi$ será apreciable para ese valor de x. Cohen-Tannoudji luego afirma que si $e^{i(k-k_0)(x-x_0)}$ "oscila aproximadamente una vez cuando $k$ atraviesa el dominio $\Delta k$ " entonces $\psi$ será despreciable. Matemáticamente, expresan esta condición como

Δ k (X - X_{0}) \approx 1.

$\Delta k (x-x_0) \approx 1.$

Cohen-Tannoudji luego afirma: "Si $\Delta x$ es el ancho aproximado del paquete de ondas, por lo tanto tenemos

Δ k Δ X ≳ 1. "

$\Delta k \Delta x \gtrsim 1."$

mis preguntas son

¿Por qué es la condición de una oscilación $\Delta k (x-x_0) \approx 1,$ y no $\Delta k (x-x_0) \approx 2 \pi$ ?
Incluso si acepto la condición anterior, no entiendo la lógica al dar el salto a la declaración $Δ k Δ X ≳ 1. "$ $\Delta k \Delta x \gtrsim 1."$
Anticipándonos un poco más adelante en el libro, ¿por qué $g(k)$ considerado la función de onda espacio-momento? O, tal vez, una mejor manera de expresar esto es preguntar por qué la base de la posición y el momento están relacionadas por una transformada de Fourier.

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Con respecto a tu tercera pregunta. Si quieres ver el vector de estado $|\psi\rangle$ considerado explícitamente, debe elegir una base para expandirlo. Por ejemplo, los autos de posición $|x\rangle$ . Entonces puedes expandir tus kets estatales con respecto a $|x\rangle$ . Eso es $|\psi\rangle=\int dx |x\rangle\langle x|\psi\rangle$ . Dónde $\langle x|\psi\rangle=\psi(x)$ es solo la función de onda en el espacio real.

De manera similar, puede optar por expandirse con respecto a los mercados propios del operador de cantidad de movimiento $p$ . Así que tienes:

ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩ = \int d pag ⟨ X | pag ⟩ ⟨ pag | ψ ⟩ = \int d pag \bar{ψ} (pag) {mi}^{i k X}

$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle=\int dp \langle x|p\rangle \langle p|\psi\rangle=\int dp \bar\psi(p)e^{ikx}$

dónde $\bar\psi(p)=\langle p|\psi\rangle$ es simplemente la función de onda en el espacio de cantidad de movimiento.

Con respecto a su primera y segunda pregunta , mi opinión es que no trate el número 1 o $2\pi$ demasiado en serio, ya que este argumento en sí mismo es una aproximación. Solo quiere mostrarle que la extensión del paquete de ondas en el espacio real $\Delta x$ tiempos de extensión del paquete de ondas en el espacio de cantidad de movimiento $\Delta k$ no puede ser menor que algún valor. Lo cual es requerido por el principio de incertidumbre.

Desde $|g(k)|$ es aproximadamente cero fuera $(k_0-\Delta k,k_0+\Delta k)$ , tenemos:

ψ (X, 0) \approx \frac{{mi}^{i [k_{0} X + α (k_{0})]}}{\sqrt{2 π}} \int_{k - Δ k}^{k + Δ k} | gramo (k) | {mi}^{i (k - k_{0}) (X - X_{0})} d k

$\psi (x,0) \approx \frac{e^{i \left[k_0 x + \alpha(k_0) \right]}}{\sqrt{2 \pi}} \int_{ k-\Delta k}^{k+\Delta k} |g(k)| e^{i(k-k_0)(x-x_0)} dk$

El argumento principal es que, si x está muy cerca $x_0,\psi(x)$ no puede tender a cero , es decir: dado un $\Delta k$ , $\Delta x$ no puede ser arbitrariamente pequeño, (recuerde que $\Delta x$ es la extensión de la función de onda en el espacio real, es decir, el rango que $\psi(x)$ no es aproximado a cero), lo cual es requerido por el principio de incertidumbre.

Para mostrar esto, consideremos una forma específica de $|g(k)|=e^{(k-2)^2}$ , el gráfico de la misma se muestra a continuación, que podemos ver en este caso nuestro $\Delta k\approx 2, k_0=2.$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Necesitamos considerar solo la parte real de la integral, porque debido a la simetría la parte imaginaria es cero.

Ahora considere la gráfica de la parte real del integrando, si elegimos $x- x_0$ lo suficientemente pequeño, por ejemplo $x-x_0\approx1$ , podemos ver que la integral de ninguna manera puede desaparecer en este caso.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Sin embargo, si elegimos $x-x_0$ lo suficientemente grande, digamos, $x-x_0\approx 10$ , el positivo y el negativo se cancelarán entre sí y la integral será muy pequeña.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Entonces el rango $\Delta x$ en el que la función de onda es apreciable debe ser mayor que algún valor específico, no puede ser arbitrariamente pequeño.

Lo último en mencionar es que $\Delta x, \Delta k$ Lo que describí aquí es la región media en la que la función de onda es apreciable. Ellos no son $\sigma_x \sigma_k$ en la fórmula del principio de incertidumbre, normalmente la región en la que la función de onda es apreciable será mayor que la derivada estándar y proporcional a ella.

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