Forma exponencial de Weyl de las Relaciones Canónicas de Conmutación

Hay un peligro considerable de simplificación excesiva aquí, pero encuentro útil pensar en la construcción$e^{i\lambda \hat q}$como un operador que genera la función característica de una distribución de probabilidad en un estado particular. Siendo un poco libres con los detalles matemáticos, podemos escribir la densidad de probabilidad de observar el valor$q$en un estado vectorial$\left|\psi\right>$como$\mathsf{Pr}(q)=\left<\psi\right|\delta(q-\hat q)\left|\psi\right>$, cuya función característica es la transformada de Fourier

$$C(\lambda)=\int\left<\psi\right|\delta(q-\hat q)\left|\psi\right>e^{i\lambda q}\mathrm{d}q= \left<\psi\right|e^{i\lambda \hat q}\left|\psi\right>.$$ Podemos invertir Fourier transformando esto de nuevo en una densidad de probabilidad. Lo que comúnmente se etiqueta $Q$, como tiene aquí, se etiqueta de manera más útil de una manera que enfatice su diferencia con el operador de posición y los valores que pueden tomar las medidas de posición. Matemáticamente, $\lambda$es un dual lineal de la posición. Está muy claro qué es algebraicamente una transformada de Fourier de una densidad de probabilidad, pero quizás no tan claro cuál es su significado físico . Tal vez sea mejor pensar en ello como un dispositivo formal que utiliza $\lambda$para realizar un seguimiento de todos los momentos de las probabilidades de diferentes resultados de medición, lo que nos permite decir que $\lambda^n$está asociado con el $n$-ésimo momento. [Podría hacerlo mucho peor, si desea comprender las funciones generadoras, aunque esta es una sugerencia ligeramente idiosincrásica de mi parte, para leer la serie reciente de John Baez sobre Teoría de redes con una mente abierta; una búsqueda en Google de "teoría de redes (parte" baez los encuentra. Sin embargo, es posible que te tuerza un poco la cabeza, así que si quieres una comprensión rápida, esto puede no ser para ti).

Todo es esencialmente lo mismo para el operador de cantidad de movimiento tomado solo, pero si introducimos ambos$\hat q$y$\hat p$, por lo que consideramos un objeto como

$$\tilde W(\lambda,\mu)=\int\left<\psi\right|\delta(q-\hat q)\delta(p-\hat p)\left|\psi\right> e^{i\lambda q+i\mu p}\mathrm{d}q\mathrm{d}p= \left<\psi\right|e^{i\lambda \hat q+i\mu\hat p}\left|\psi\right>,$$ y luego la transformada de Fourier inversa de este objeto, obtenemos "densidades de probabilidad" negativas para algunos valores de $p$y $q$. Esta es la función de Wigner, sobre la cual se ha escrito mucho .

El sistema de Weyl,$\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right]$y$\exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]$, comprenden dos elementos de "presentación" del grupo de Heisenberg .

En la medida$\hat{p}$es una derivada con respecto a la posición q , Q no es sino la cantidad de desplazamiento que q en cualquier función de ella se traduce por la acción de$\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right]$; eso es,$f(q) \mapsto f(q+Q)$.

La acción del elemento grupal.$\exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]$sobre tales funciones es más prosaico: la multiplicación por$\exp\left[\frac{i}{\hbar}Pq\right]$, que es un cambio de fase suave.

¿Qué tiene de especial el trenzado de las relaciones de Weyl?$\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right] \exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]$ $= e^{iPQ/\hbar} \exp\left[\frac{i}{\hbar}P\hat{q}~\right]\exp\left[\frac{i}{\hbar} Q \hat{p}~\right]$es que están acotados y, por lo tanto, más cerca de sus análogos de dimensión finita y, por lo tanto, sirven para iluminar el grupo de Heisenberg y el teorema de Stone-von Neumann mucho mejor que$\hat{q}$y$\hat{p}$. En particular, son los límites continuos del sistema (grupo) de matrices de cambio y reloj sustancialmente más manejable .