Relación entre teorías de campo conformes y topológicas

Una transformación conforme es aquella que altera la métrica hasta un factor, es decir

$$g_{\mu\nu}(x)\to\Omega^2(x)g_{\mu\nu}(x)$$

Se dice que una teoría de campo descrita por un invariante lagrangiano hasta una derivada total bajo una transformación conforme es una teoría de campo conforme . Estas transformaciones incluyen

• Descamación o dilataciones$x^\mu \to \lambda x^\mu$
• Rotaciones$x^\mu \to M^\mu_\nu x^\nu$
• Traducciones$x^\mu \to x^\mu + c^\mu$

Además de estos, el grupo conforme incluye un conjunto de transformaciones conformes especiales dadas por,

$$x^\mu \to \frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1-2b \cdot x + b^2 x^2}$$

Si calcula los generadores de las transformaciones conformes y el álgebra que satisfacen, con alguna manipulación se puede demostrar que hay un isomorfismo entre el grupo conforme en$d$dimensiones y el grupo$SO(d+1,1)$. En dos dimensiones, el grupo conforme es bastante especial; es simplemente el conjunto de todos los mapas analíticos; este conjunto es de dimensión infinita ya que se requiere un número infinito de parámetros para especificar todas las funciones analíticas en alguna vecindad. La variedad global de transformaciones conformes, es decir, aquellas que no son funciones de las coordenadas sino constantes, en$d=2$son equivalentes a$SL(2,\mathbb{C})$.

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Por otro lado, una teoría topológica del campo es aquella que es invariante bajo todas las transformaciones que no alteran la topología del espacio-tiempo, por ejemplo, no pueden perforarlo y aumentar el género. Las funciones de correlación no dependen de la métrica y, de hecho, son invariantes topológicas.

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Por lo tanto, una teoría de campo topológica es invariante bajo transformaciones conformes por el hecho de que ni siquiera depende de la métrica. Sin embargo, no todas las teorías de campos conformes son teorías de campos topológicos.

Aproximadamente, cada parte quiral de una CFT racional da una teoría TFT. Por ejemplo, para los modelos WZW, las partes quirales son álgebras actuales. La TFT correspondiente es la teoría de Chern-Simons.

El punto es que la representación de un CFT racional quiral es una categoría de tensor modular. A partir de una categoría de tensor modular, se puede construir una TFT 3D a través de la construcción Reshetikhin-Turaev.

Por el contrario, a partir de una CFT quiral racional dada$V$, Fuchs-Runkel-Schweigert usó la TFT asociada para construir (todas) las CFT 2D con$V$como partes quirales. Dan una construcción de todas las funciones de correlación en una superficie de Riemann arbitraria utilizando la TFT.