¿Los TQFT de tipo Schwarz también son conformemente invariantes?

Consideremos una variedad 3D Y por brevedad, y un invariante topológico Z ( Y ) que no depende de la geometría de Y .

Una teoría topológica cuántica de campo tipo Schwarz (TQFT) tiene la característica definitoria de que la acción S es independiente de la geometría de Y . Más explícitamente, podemos escribir

d S d gramo m v = 0 ,
dónde gramo m v es una métrica definida en Y . Sin embargo, también es bien sabido que la expresión del lado izquierdo no es más que el tensor tensión-energía T m v = d S d gramo m v . De manera equivalente, podemos reescribir esto como
T m v = 0.

Esto nos dice un par de cosas:

  • Tenemos un hamiltoniano que se desvanece H = T 00 = 0 -- no hay dinámicas involucradas en tal TQFT. Este hecho también es válido para un TQFT de tipo Witten.
  • Tener términos diagonales que desaparecen también significa que tenemos Tr T = T m m m = 0 .

El primer punto es fácil de entender. Intuitivamente, una invariante topológica no debería verse afectada cuando estiramos Y sin rasgar ni pegar. Entonces, si identificamos una de estas dimensiones como similar al tiempo (de modo que realmente tengamos una variedad 2+1D, en lugar de una 3D), entonces las traducciones en el tiempo deberían dejar Z ( Y ) sin alterar.

El segundo punto necesita aclaración. La condición Tr T = 0 también implica invariancia conforme. ¿Significa esto necesariamente que la TQFT en Y es también conforme invariante?

En el trabajo de Witten sobre el polinomio de Jones, por ejemplo, una teoría de campo conforme (CFT) 2D se define de hecho en una sección transversal de Y , al elegir la acción Chern-Simons. Sin embargo, no hay una mención explícita de que se defina un CFT 3D en Y . ¿La teoría de Chern-Simons también es conformemente invariante y, de ser así, es válida para los TQFT de tipo Schwarz de dimensiones superiores?

Realmente aprecio cualquier ayuda que pueda señalarme en la dirección correcta. ¡Gracias de antemano!

Respuestas (1)

Puede que me falte algo de sutileza en su pregunta, pero: Sí, la teoría de Chern-Simons es una QFT conforme. No depende de la métrica, por lo que es invariante ante cambios de la métrica, que es lo que son las transformaciones conformes. Las transformaciones conformes son simetrías, porque actúan de manera trivial. Esto es cierto para cualquier teoría de campos topológicos. Sin embargo, no es especialmente útil porque es un caso degenerado de conformidad. Saber que una QFT es conforme es útil porque puede usar la teoría de representación del grupo conforme para descomponer los campos y estados en partes comprensibles. Si el grupo conforme actúa trivialmente, no ganas nada.

Gracias por las notas útiles, y perdón por la respuesta tardía. Entonces, todos los TQFT también son conformemente invariantes, en particular para el caso de la teoría de Chern-Simons, todas las cantidades interesantes (como Z ( Y ) ) se transforman trivialmente bajo el grupo conforme y, por lo tanto, no obtenemos nada nuevo. Por otro lado, introduciendo bucles de Wilson (o líneas de Wilson), obtenemos cargas estáticas en una sección transversal de Y . En consecuencia, las cantidades interesantes ya no se transforman trivialmente bajo el grupo conforme, y ahora es útil hablar sobre la CFT 2D correspondiente. Espero estar haciendo esto bien.
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