Relación entre par y momento angular

Question

Relación entre par y momento angular

Mahl-Deneb

quiero saber como deducir la ecuacion $\vec{\tau}=\vec{\omega} \times \vec{L}$ , donde

$\vec{\tau}$ es el momento de fuerza (también conocido como torque),

$\vec{L}$ es el momento angular,

$\vec{\omega}$ es la velocidad angular.

kleingordon

Esta fórmula no es cierta en general. Más fundamentalmente, el par es la derivada temporal del momento angular. ¿Puede proporcionar más contexto sobre cómo encontró esta ecuación?

Respuestas (4)

Relación entre par y momento angular

Esta fórmula no es cierta en general. Más fundamentalmente, el par es la derivada temporal del momento angular. ¿Puede proporcionar más contexto sobre cómo encontró esta ecuación?

joshfísica · Answer 1

Aquí está la prueba que creo que estás buscando. Como comenta Ali en su respuesta, los resultados son válidos para un cuerpo rígido que gira con velocidad angular constante.

Dejar $\vec r_i$ denotan la posición de alguna partícula en un cuerpo rígido. Suponga que este cuerpo rígido está rotando con velocidad angular $\vec \omega$ , después

{\dot{\vec{r}}}_{i} = \vec{ω} \times {\vec{r}}_{i}

$\dot {\vec r}_i = \vec \omega\times\vec r_i$ Vea el apéndice para una prueba de esto. Tomando la derivada de ambos lados con respecto al tiempo y multiplicando ambos lados por

m_{i}

$m_i$ , la masa de la partícula

i

$i$ , obtenemos

{\dot{\vec{pag}}}_{i} = ω \times {\vec{pag}}_{i}

$\dot {\vec p}_i = \omega\times \vec p_i$ Ahora simplemente observamos que si

{\vec{F}}_{i}

$\vec F_i$ denota la fuerza neta sobre la partícula

i

$i$ , entonces la segunda ley de Newton da

{\vec{F}}_{i} = \dot{{\vec{p}}_{i}}

$\vec F_i = \dot{\vec p_i}$ así que eso

\begin{aligned} {\vec{τ}}_{i} & = {\vec{r}}_{i} \times {\vec{F}}_{i} \\ = {\vec{r}}_{i} \times \dot{{\vec{pag}}_{i}} \\ = {\vec{r}}_{i} \times (\vec{ω} \times {\vec{pag}}_{i}) \\ = - {\vec{pag}}_{i} \times ({\vec{r}}_{i} \times \vec{ω}) - \vec{ω} \times ({\vec{pag}}_{i} \times {\vec{r}}_{i}) \\ = {\vec{pag}}_{i} \times (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i}) + \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{i} \times {\vec{pag}}_{i}) \\ = {\vec{pag}}_{i} \times {\dot{\vec{r}}}_{i} + \vec{ω} \times {\vec{L}}_{i} \\ = \vec{ω} \times {\vec{L}}_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \vec\tau_i &= \vec r_i\times \vec F_i \\ &= \vec r_i\times\dot{\vec p_i} \\ &= \vec r_i\times(\vec\omega\times\vec p_i) \\ &= -\vec p_i\times(\vec r_i\times \vec\omega) - \vec\omega\times(\vec p_i\times\vec r_i) \\ &= \vec p_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) + \vec\omega\times(\vec r_i\times\vec p_i) \\ &= \vec p_i\times \dot{\vec r}_i + \vec \omega\times \vec L_i \\ &= \vec\omega\times \vec L_i \end{align}$ Esta es básicamente la identidad que estabas buscando. En la cuarta igualdad, utilicé la llamada identidad de Jacobi . Ahora, tomando la suma

i

$i$ , se puede ver fácilmente que el resultado también es válido para el par neto

τ

$\tau$ sobre el cuerpo y el momento angular total

\vec{L}

$\vec L$ del cuerpo;

\vec{τ} = \vec{ω} \times \vec{L}

$\vec \tau = \vec\omega\times\vec L$

Apéndice. El movimiento de un cuerpo rígido en rotación es generado por rotaciones. En otras palabras, hay una cierta rotación dependiente del tiempo. $R(t)$ para cual

\vec{r} (t) = R (t) \vec{r} (0)

$\vec r(t) = R(t) \vec r(0)$ Resulta que

\dot{\vec{r}} (t) = \dot{R} (t) \vec{r} (0) = \dot{R} (t) R (t)^{T} \vec{r} (t) = \vec{ω} (t) \times \vec{r} (t)

$\dot{\vec r}(t) = \dot R(t) \vec r(0) = \dot R(t)R(t)^T\vec r(t) = \vec\omega(t)\times \vec r(t)$ En el último paso, usé el hecho de que

R (t)

$R(t)$ es una matriz ortogonal para cada

t

$t$ lo que implica que

\dot{R} R^{T}

$\dot R R^T$ es antisimétrico. De ello se deduce que existe algún vector

\vec{ω}

$\vec \omega$ , que llamamos la velocidad angular del cuerpo, para la cual

\dot{R} R^{T} \vec{A} = \vec{ω} \times \vec{A}

$\dot R R^T \vec A = \vec \omega\times\vec A$ para cualquier

\vec{A}

$\vec A$ .

¿Podemos usar L=Iw para cualquier eje de rotación en un cuerpo rígido?

Ali · Answer 2

Como señalaron kleingordon y otros, esta ecuación no es cierta en general. Pero puede ser cierto en un contexto determinado. Intentaré derivar las condiciones en las que puede ser cierto.

Todos sabemos eso:

\vec{τ} = \frac{d \vec{L}}{d t}

$\vec\tau = \frac{ d \vec{L}}{dt}$

Pero queremos tener:

\vec{τ} = \vec{ω} \times \vec{L} \Rightarrow \frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{ω} \times \vec{L}

$\vec{\tau}=\vec \omega \times\vec{L} \\ \Rightarrow \frac{d\vec L}{dt}=\vec \omega \times \vec L$

Ahora, el caso donde la derivada temporal de un vector (en este caso $\vec L$ ) es el producto vectorial de un vector constante (en este caso $\vec \omega$ ) con ese vector es un caso bien conocido . Es simplemente el caso donde ese vector ( $\vec L$ ) gira alrededor del vector constante ( $\vec \omega$ ) con velocidad angular constante, que resulta ser $|\vec \omega|$ .

Esto está mal . Las unidades de la ecuación en sí son incorrectas.
@ Dimension10 ¡No, no lo son! Creo que lo que te estás perdiendo es el hecho de que los ángulos no tienen dimensiones.
¿Eh? $[\vec\omega] = \frac1{\operatorname{second}}$ . $[\vec\alpha]=\frac1{\operatorname{second^2}}$ .
Si, entonces? Eso no refuta el hecho de que la aceleración angular está en $\frac1{\operatorname{second}^2}$ .
@Dimensión10 $\omega$ no es aceleración angular, es velocidad angular. ¿Quién habló de aceleración angular?
Eso es EXACTAMENTE lo que estoy diciendo. omega es la velocidad angular, alfa es la aceleración angular, . Ahora, aplique la segunda ley de Euler de la mecánica (rotacional) de Newton. . . .
Oh, veo la confusión aquí. $\vec I$ , es el ángulo. impulso (en la pregunta), pensé que era el momento de inercia. ¿Podría decir algo como "Estoy cambiando I por L porque es el impulso angular" (en parte porque quiero revertir mi voto negativo (injustificado)) y notificarme? . ?
@ Dimension10 Listo. De hecho, estaba pensando en cambiar la notación de la pregunta principal para evitar ambigüedades.
@Ali, estoy de acuerdo con tu respuesta, pero ¿cómo puedo deducir eso? Adoptas un enfoque cualitativo, no una demostración de dónde proviene esta ecuación.

Folau · Answer 3

No estoy seguro de dónde obtuvo esta ecuación, pero intentaré mostrarle por qué otros sugieren que no es correcta.

Puedes intentar mirar los análogos lineales de estos valores. En un sistema lineal estás diciendo que:

$\text{Force} = \text{Velocity}\times \text{Momentum} = v \times mv = m v^2$

Que es algo diferente a la ley de Newton.

$F = m a$

¿De dónde sacaste esta ecuación y a qué se refiere?

De hecho, ahora que lo pienso, el hecho de que L=Iw significa que los vectores estarán en la misma dirección pero escalados por I (análogo rotacional de la masa). ¿Seguramente aquí el producto cruzado terminará siendo 0 de todos modos? ¿Quiere usar omega como velocidad angular? Nunca lo dijiste explícitamente, pero es la convención general.
Hola Folau, "Rad" o ángulos en general son adimensionales; por lo que las unidades coinciden. Además, puede usar los comandos de Latex para mejorar su respuesta.
Estoy en el trabajo, así que estoy escribiendo con algo de prisa, pero gracias :) Estaba seguro de que me faltaba algo sobre las unidades. ¿Es sólida mi segunda suposición o he cometido otro error?
No, mal, leí mal lo que estabas diciendo: PI leí que estabas diciendo que la velocidad angular es constante, por lo tanto, la aceleración angular es 0, lo cual es un poco trivial con respecto a Newton II, pero no entendí bien cómo interpretaste los vectores. .

Mueen Wani · Answer 4

El par es un análogo rotacional de la fuerza. Desempeña el mismo papel en la dinámica de rotación que la fuerza en el movimiento lineal. El par se define como el momento de la fuerza o el efecto de giro de la fuerza sobre el eje o punto dado. Se mide como el producto cruzado de la posición y el vector de fuerza, mientras que el momento angular es el análogo rotacional del momento lineal. Es un vector axial y se mide como el producto cruzado de la posición y el vector de momento.

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