Rodar sin deslizar tomando el punto de contacto como pivote

La ecuación del movimiento

$$\text{torque about stationary geometrical point O} = \text{moment of inertia w.r.t. O} \times \text{angular acceleration w.r.t. O}$$

sólo es válida si el movimiento del cuerpo es una rotación plana alrededor de un eje que pasa por O. Este es el caso si el punto O se toma como punto de contacto del cuerpo cuando rueda sin deslizar, pero no cuando rueda con deslizamiento. La versión generalmente válida del teorema del momento angular-torque es

$$\text{torque about stationary geometrical point O} = \ = \frac{d}{dt}\left(\text{angular momentum w.r.t. stationary geometrical point O}\right).$$

Si el cuerpo rueda con deslizamiento, no hay un punto geométrico estacionario O en el suelo para el cual el momento angular pueda escribirse como$I_O\omega_O$con$I_O$constante en el tiempo y la última ecuación no se reduce a la anterior.

Como una fuerza desequilibrada,$\mathbf{f}$actúa para acelerar el disco. Dado que está ubicado en la parte inferior del disco, O también debe acelerar y, por lo tanto, está en un marco de referencia no inercial.

Ese marco no inercial tendrá fuerzas ficticias que se oponen a la aceleración. Podemos dibujar una fuerza$\mathbf{f'}$que actúa a través del centro de masa en la dirección opuesta de$\mathbf{f}$.

Debido a que actúa a través del centro de masa, proporciona un par relativo a O y puede reducir la velocidad angular.

Al hacer este tipo de problema, puede agregar dos fuerzas que actúan en el centro de masa cuya resultante es cero.
Este sistema de tres fuerzas puede verse ahora de la siguiente manera.

La fuerza de fricción$f$es exactamente equivalente a una fuerza de la misma magnitud cuya línea de acción pasa por el centro de masa del disco (mostrado en azul) y un par de fuerzas$f$en rojo que constituyen una pareja.
Las fuerzas azules producen la aceleración lineal del centro de masa del disco y el par produce el par en el disco y, por lo tanto, la aceleración angular del disco.

Asumí que la velocidad angular (y así$α$) es lo mismo que tomo como pivote el centro de masa o el punto$O$.

Si este es el caso, se puede usar el teorema del eje paralelo

Estás mezclando rotación y traslación circular. La velocidad angular se define con respecto al eje de rotación (instantáneo), que no puedes elegir a voluntad. Lo impone la cinemática del cuerpo en el marco de referencia elegido; tiene la propiedad de no tener velocidad (instantánea). Aquí,$O$(como un punto del borde) se mueve tanto en el marco CM como en el marco plano.

Puede aplicar los teoremas de König sobre cualquier eje fijo de su elección. Elijamos cualquier punto$A$del avión Yo lo llamo$C$el cm,$\hat x$es hacia la derecha,$\hat y$está en la figura,$\hat z$es hacia arriba. ^1er teorema de König :

$$\vec L_A=I_C\vec ω+\vec{AC}×m\vec v=(I_Cω+rmv_x)\hat y.$$

par de$\vec f$con respecto a$A$es cero, por lo tanto$\vec L_A$es constante, también$I_Cω+rmv_x$. Entonces

$$I_C\dot ω+rma_x=0,$$ que es consistente con su conjunto de ecuaciones $(1)$obtenido en el marco cm.

A medida que se produce la fricción, implica que el centro de masa se está desacelerando. Para aplicar simplemente la ley de Newton, uno tiene que permanecer en el marco inercial. Alternativamente, si uno analiza el problema en un marco de referencia no inercial, alguna fuerza de inercia $\vec{f}_{int}$debe agregarse adecuadamente al análisis para restaurar la validez de la ley. A continuación, analicemos varios enfoques diferentes del problema.

(1) Consideremos un análisis realizado en una referencia relativamente inmóvil con respecto al centro de masa del disco. Es un enfoque en el marco no inercial y es el enfoque más fácil para el problema. Por definición, la fuerza de inercia en cuestión actúa sobre el centro de masa con la misma magnitud de la fricción pero en dirección opuesta. Observamos que la fuerza de inercia no cambiará las ecuaciones con respecto al centro de masa; pero lo hace para el segundo caso cuando el análisis se lleva a cabo en el punto de pivote en el borde del disco (ver 2 a continuación).

Para ser específicos, la ecuación de movimiento con respecto al centro de masa dice

$$\vec{\tau}=\vec{r} \times (\vec{f}+\vec{f}_{int})=\vec{r} \times \vec{f} =I_{cm} \dot{\vec{\omega}} \tag{1}$$

Como nota al margen, la respuesta de Farcher es equivalente a esta solución y es la más deseable: el movimiento del centro de masa de un cuerpo rígido está determinado por la masa total y la suma de las fuerzas externas; la rotación del cuerpo rígido está determinada por el momento de inercia (o mejor, el tensor de inercia con respecto al centro de masa) y la suma de los pares externos. Una vez que tomamos el centro de masa como el origen del sistema de coordenadas y evaluamos el momento de inercia, estamos tratando con un marco de referencia no inercial. Sin embargo, esta visión del punto no involucra explícitamente el concepto de fuerza de inercia porque (i) la fuerza de inercia no afecta el movimiento del centro de masa y (ii) en este caso la fuerza de inercia pasa por el centro de masa, entonces no contribuye al par.

(2) Ahora intentemos escribir la ecuación de movimiento con respecto al punto de contacto$O$. Para ser específicos, el punto de contacto se encuentra en el borde del disco verticalmente debajo del centro de masa que se mueve a la misma velocidad/aceleración que este último. En otras palabras, discutiremos el problema en el mismo marco de referencia no inercial que el anterior, pero tomaremos el origen del sistema de coordenadas como el punto de contacto. En este caso, la fuerza de inercia entra explícitamente en juego. La ecuación de movimiento dice

$$\vec{\tau}'=\vec{r}' \times (\vec{f}+\vec{f}_{int})=\vec{r}' \times \vec{f}_{int} =\dot{\vec{L}}=I_{cm} \dot{\vec{\omega}'}+\dot{\vec{L}}_{cm} \tag{2}$$ dónde $I_{cm} \dot{\vec{\omega}'}$es la tasa de cambio del momento angular con respecto al centro de masa, y $\dot{\vec{L}}_{cm}$es la del propio centro de masa. Notamos aquí que no se puede hacer uso de la expresión del momento de inercia (ni del teorema de los ejes paralelos) para evaluar el momento angular del disco con respecto al punto $O$, ya que este último no es un punto fijo (en el tiempo) en el cuerpo (cf Eq. (3) en 3 y cf 4 a continuación).

No es difícil demostrar que la ecuación (2) es equivalente a la ecuación (1), al notar$\vec{f}_{int}=-\vec{f}$(por la definición de fuerza de inercia),$\vec{r}'=-\vec{r}$(debido a las ubicaciones del origen y el punto donde actúa la fuerza en cuestión),$\vec{\omega}=\vec{\omega}'$(la misma velocidad angular del disco con respecto al centro de masa) y$L_{cm}=0$(dado que el centro de masa está inmóvil en este marco de referencia).

(3) Ahora, siguiendo la línea de pensamiento anterior, uno podría querer abordar el problema con respecto al punto de pivote fijo en el borde del disco (que gira junto con el disco y coincide con el punto de contacto$O$solo en un instante dado). A primera vista, esto podría ser deseable ya que ahora podemos hacer uso de la definición de$I_0$. Sin embargo, esto en realidad resulta ser el enfoque más complicado. Por un lado, para calcular la derivada del momento angular, se involucra el concepto de derivada temporal en marco de referencia giratorio . De hecho, en este caso la derivada del momento angular se lee

$$\dot{\vec{L}}=I_{o} \dot{\vec{\omega}'}+\vec{\omega}'\times \vec{L} \tag{3}$$ Por otro lado, para calcular el par, se requieren términos adicionales de fuerza de inercia, como la fuerza de Coriolis , debido al hecho de que el sistema de coordenadas no solo no es de cola sino que también posee velocidad radial y angular con respecto a un sistema de coordenadas inercial. No es muy trivial mostrar la equivalencia, pero está implícita. Consulte "Dinámica clásica" de Goldstein para obtener más información.

(4) Por último, pero no menos importante, existe otro escenario cuando uno realiza el análisis con respecto al punto de contacto instantáneo en el piso (ya que es un punto fijo en el piso, por lo tanto también es el punto de contacto$O$solo en un instante dado). La diferencia es que en este caso estamos manejando el problema en el marco inercial. Como resultado, podemos escribir con seguridad la ecuación de movimiento de Newton sin involucrar ninguna fuerza de inercia. Es un buen ejercicio para mostrar que el momento angular del sistema (el disco) de hecho no cambia con el tiempo, por supuesto, con respecto al punto fijo anterior en el piso:

$$\vec{\tau}''=\vec{r}'' \times \vec{f}=0 \tag{4}.$$

De hecho, se puede mostrar explícitamente que el aumento del momento angular con respecto al centro de masa se cancela exactamente con la disminución del momento angular del centro de masa con respecto al punto fijo en el piso. Nuevamente, al hacer uso de la fórmula de que el momento angular de un sistema de puntos masivos se puede escribir como la suma del momento angular del centro de masa y el momento angular de puntos masivos individuales con respecto al centro de masa, el por lo tanto, se muestra que el momento angular se conserva. También se advierte que la definición de momento de inercia tampoco tiene mucho sentido en este último caso (en el sentido de que no es una constante en el tiempo), porque debe definirse con respecto a un punto fijo del cuerpo rígido para ser significativo