Cálculo de la conductividad a partir de las funciones de Green

Puedo intentar esbozar la idea general aquí, pero mi deducción puede no ser muy precisa (consulte sus libros para verificar los coeficientes y las convenciones de signos).

Así que supongo que la pregunta es que dado un sistema Fermion libre descrito por la siguiente acción

$$S=-\sum_k\psi_k^\dagger G^{-1}(k)\psi_k, ...(1)$$ dónde $G(k)=-\langle\psi_k\psi_k^\dagger\rangle$es la función de Green en la frecuencia de momento $k=(i\omega,\vec{k})$, ¿cuál es la conductividad eléctrica de CC?

1. Partir de la definición de la conductividad$j_\mu=\sigma_{\mu\nu} E_{\nu}$(dónde$j_\mu$es el actual y$E_\nu$es el campo eléctrico). Considere la respuesta lineal (diferencial) $$\sigma_{\mu\nu}= \frac{\delta j_\mu}{\delta E_\nu}....(2)$$
2. Introducir el potencial de calibre$A_\mu$. Por definición, la corriente es la fuente del potencial manométrico, es decir$j_\mu = \delta S/\delta A_\mu$, y el campo eléctrico es el momento conjugado del potencial de calibre, lo que significa$E_\nu=\partial_t A_\nu$según la ecuación de movimiento. Reemplazar en la expresión Eq. (2) para$\sigma$ $$\sigma_{\mu\nu} = \frac{\delta}{\delta \partial_t A_\nu}\frac{\delta S}{\delta A_\mu}=-i\delta_{A_0}\delta_{A_\nu}\delta_{A_\mu}S....(3)$$ Porque$i\partial_t$significa la frecuencia$i\omega$. Para conductividad DC, debemos enviar la frecuencia$i\omega\to 0$, lo que significa que en realidad estamos variando con respecto a$i\omega$. Pero porque$i\omega$siempre aparece con el potencial químico$A_0$en forma de$(i\omega+A_0)$en la acción, por lo que será equivalente a simplemente variar con respecto a$A_0$. Así es como podemos reemplazar$1/\partial_t$por$-i\delta_{A_0}$(Hay una deducción más rigurosa para este reemplazo, pero tomemos este simple argumento por ahora).
3. Tal vez se pregunte cómo el potencial del indicador$A_\mu$entró en acción$S$(tenga en cuenta que la acción original de Fermion ni siquiera contiene el campo$A_\mu$). Esto se hace mediante el procedimiento de acoplamiento mínimo, que simplemente reemplaza cada$k$por$k+A$. Entonces la acción en la Ec. (1) es en realidad$S=-\sum_k\psi_k^\dagger G^{-1}(k+A)\psi_k$. La idea es entonces integrar el campo Fermion$\psi$, y obtenga la acción efectiva para el campo de calibre$S[A]$, entonces puede calcular la conductividad por Eq. (3). Pero todo esto se puede hacer de una manera más simple al notar que$k$siempre aparece con$A$, entonces$\delta_A=\delta_k$, y por lo tanto la Ec. (3) se convierte $$\sigma_{\mu\nu}=-i\delta_{k_0}\delta_{k_\nu}\delta_{k_\mu}S....(4)$$
4. Para calcular la variación de la frecuencia del impulso, primero debemos integrar el campo de Fermiones$\psi$: $$S\xrightarrow{\int\mathcal{D}[\psi]}S=-\sum_k\text{Tr}\ln(-G^{-1}(k))....(5)$$ Usando la regla de diferenciación$\delta G = G (\delta G^{-1}) G$que se sigue de la definición$G G^{-1}\equiv 1$(y variando ambos lados), no es difícil mostrar a partir de las Ecs. (4) y (5) que $$\sigma_{\mu\nu}=-i\sum_k \text{Tr} G(k)\gamma_0 G(k)\gamma_\nu G(k)\gamma_\mu, ...(6)$$ donde el$\gamma$las matrices se definen como $$\gamma_\mu=-\partial_{k_\mu}G^{-1}(k)....(7)$$

De acuerdo. ecuación (6) ya es la fórmula de Kubo escrita en términos de la función de Green. Simplemente puede conectar la función de Green y completar la suma de frecuencia de momento para obtener la conductividad eléctrica.

EJEMPLO:

Para demostrar cómo funciona esto, permítame presentar un ejemplo simple. Considere la conductancia Hall de un sistema de dos bandas

$$G(k)=(i\omega\sigma_0-k_1\sigma_1-k_2\sigma_2-m\sigma_3)^{-1}=\frac{i\omega\sigma_0+k_1\sigma_1+k_2\sigma_2+m\sigma_3}{(i\omega)^2-E^2},$$ con $E=\sqrt{k_1^2+k_2^2+m^2}$. De la ecuación (7), $\gamma_0=-\sigma_0$, $\gamma_1=\sigma_1$, $\gamma_2=\sigma_2$. Luego conectando a la Ec. (6). $$\sigma_{\mu\nu}=\sum_{k}\frac{2m}{((i\omega)^2-E^2)^2}=\sum_{\vec{k}}\frac{m}{2E^3}=\frac{m}{2|m|},$$ que es lo que esperamos de un solo cono de Dirac.