Significado de los subíndices L,RL,RL,R para los espinores de Weyl de dos componentes ϕL,RϕL,R\phi_{L,R}

Para un espinor de Dirac ψ , sus proyecciones quirales son ψ L , R se definen como

(1) ψ R , L = 1 2 ( 1 ∓ γ 5 ) ψ .
Actuando con el operador de quiralidad γ 5 , encontramos
(2) γ 5 ψ L = − ψ L ,     γ 5 ψ R = + ψ R .
Esta es la razón por ψ L y ψ R se conocen respectivamente como proyecciones quirales para zurdos y para diestros de ψ . Es de subrayar que ψ L y ψ R no son espinores de 2 componentes; ψ L ( ψ R ) siguen siendo espinores de 4 componentes con dos entradas inferiores (superiores) cero y dos entradas superiores (inferiores) distintas de cero. Dejar
(3) ψ L = ( x 0 ) ,     ψ R = ( 0 ζ ) ,
dónde x y ζ son espinores de dos componentes, llamados espinores de Weyl. Pero a veces la gente usa una notación confusa, ϕ L para x y ϕ R para ζ es decir,
(4) ψ L = ( ϕ L 0 ) ,     ψ R = ( 0 ϕ R ) .
Por ejemplo, véase la ecuación. (8.71) aquí .

Dado que los operadores de proyección de quiralidad 1 2 ( 1 ∓ γ 5 ) son 4 × 4 matrices, sólo pueden actuar sobre ψ proyectar ψ L y ψ R . Sin embargo, la notación ϕ L y ϕ R , para los espinores de 2 componentes x y ζ respectivamente, sugiere que también existe una noción de 2 × 2 operador de quiralidad Si no existe tal operador, ¿cuál es el significado de ϕ L y ϕ R ?

No estoy seguro de lo que estás preguntando. ¿Sabes que hay dos tipos de espinores de Weyl? lo que llamas x y ζ son dos objetos diferentes ya que se transforman de manera diferente bajo Lorentz
@FrodCube, digo que a veces la notación ϕ L se utiliza para x y ϕ R se utiliza para ζ ambos de los cuales son objetos de 2 componentes. Ver la referencia que cité. Pero la notación L , R tiene sentido solo para ψ L y ψ L que son objetos de 4 componentes. Las proyecciones quirales solo se pueden tomar de un objeto de 4 componentes porque el operador de proyección de quiralidad es un 4 × 4 matriz. Tenga en cuenta que ψ L , R se definen a partir de ψ En 1). Pero no puedes definir ϕ L , R de manera análoga.
Ese es el punto. No es cierto que "izquierda" y "derecha" solo se definan en 4 espinores. Hay dos tipos distintos de espinores de Weyl con dos quiralidades diferentes.
@FrodCube ¿Cómo definirá la quiralidad para espinores de 2 componentes? Cuál es el 2 × 2 operador de quiralidad? Solo puede definir el operador helicity σ ⋅ pag , y demostrar que ϕ L y ϕ R son estados propios de helicidad con valores propios ∓ 1.
En la base de Weyl, los proyectores quirales son matrices de bloques dispersos, por lo que las proyecciones quirales se separan en bloques 1-2 y 3-4, respectivamente.

Respuestas (1)

Es importante distinguir entre el álgebra de Clifford en sí y una representación matricial del álgebra de Clifford. El álgebra de Clifford en sí es un álgebra asociativa abstracta generada por vectores base mi 0 , mi 1 , mi 2 , mi 3 satisfactorio mi a mi b + mi b mi a = 2 η a b . Las matrices de Dirac proporcionan una representación matricial del álgebra de Clifford, γ : mi a ↦ γ a , que es fiel en el sentido de que elementos distintos del álgebra de Clifford están representados por matrices distintas. En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, las matrices más pequeñas que pueden lograr esta hazaña tienen un tamaño 4 × 4 .

Un espinor de Dirac es algo sobre lo que actúa esta fiel representación matricial de toda el álgebra de Clifford.

La parte par del álgebra de Clifford es generada por productos mi a mi b . Es una subálgebra propia del álgebra completa de Clifford. Cuando se restringe a esta subálgebra, la representación de la matriz de Dirac es reducible: usando las matrices de proyección ( 1 ± γ 5 ) / 2 , podemos dividir un espinor de Dirac ψ en dos partes ψ L / R que no se mezclan entre sí bajo la acción de la parte par de esta representación del álgebra de Clifford.

Sin referirse en absoluto a los espinores de Dirac, los espinores de Weyl (también conocidos como espinores quirales) se pueden definir directamente como cosas que se transforman de acuerdo con una representación irreducible de la parte par del álgebra de Clifford. Hay dos representaciones no equivalentes (mutuamente conjugadas) de la parte par, que a menudo se distinguen entre sí usando los subíndices L / R , hayan sido construidos o no aplicando ( 1 ± γ 5 ) / 2 a un espinor de Dirac.

Cuando los espinores de Weyl se definen directamente así, el operador de quiralidad todavía está definido: sigue siendo (proporcional a) la representación matricial de mi 0 mi 1 mi 2 mi 3 . Sin embargo, una representación irreducible de la parte par del álgebra de Clifford no es fiel : la matriz que representa mi 0 mi 1 mi 2 mi 3 es proporcional a la matriz identidad. Las dos representaciones no equivalentes difieren entre sí en el signo de la matriz que representa mi 0 mi 1 mi 2 mi 3 . Entonces, el operador de quiralidad todavía está definido, pero solo multiplica el espinor de Weyl por + 1 o − 1 , dependiendo de cuál de las dos representaciones no equivalentes se esté utilizando.

Significado de los subíndices L,RL,RL,R para los espinores de Weyl de dos componentes ϕL,RϕL,R\phi_{L,R}
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