¿Relación de anticonmutación de signo incorrecto para el campo de Dirac?

Question

¿Relación de anticonmutación de signo incorrecto para el campo de Dirac?

Física
fermiones
anticonmutador
ecuación de dirac
Grassmann-números
formalismo hamiltoniano

Juan Fredsted

Considere el Lagrangiano de Dirac

L = ψ^{†} γ^{0} (i γ^{ρ} \partial_{ρ} - metro) ψ .

$\mathcal{L}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\left( \mathrm{i}\gamma ^{\rho }\partial _{\rho }-m\right) \psi .$ Los momentos conjugados a

ψ^{a}

$\psi ^{a}$ se definen, como siempre, por

π_{a} = \partial L / \partial {\dot{ψ}}^{a} .

$\pi _{a}=\partial \mathcal{% L}/\partial \dot{\psi}^{a}.$ Todas las referencias que he consultado afirman que esto implica que

π_{a} = i ψ_{a}^{†}

$\pi _{a}=\mathrm{i}\psi _{a}^{\dagger }$ , lo que parece bastante obvio. Pero por qué no

π_{a} = - i ψ_{a}^{†}

$\pi _{a}=-\mathrm{i}\psi _{a}^{\dagger }$ en vista de la anticonmutación de fermiones, el signo menos que surge de tener que pasar

\partial / \partial {\dot{ψ}}^{a}

$% \partial /\partial \dot{\psi}^{a}$ a través de

ψ^{†}

$\psi ^{\dagger }$ ? Sin embargo, usar un signo menos de este tipo conduce, por supuesto, a un signo menos sin sentido en la relación de anticonmutación,

{ψ^{a} (X), ψ_{b}^{†} (y)} = - d_{b}^{a} d^{(3)} (X - y) .

$\left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\psi _{b}^{\dagger }\left( \mathbf{y}\right) \right\} ~=~-\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{y}\right) .$ ¿Qué me estoy perdiendo?

Actualización: siguiendo la nota 'Corchetes de Dirac' de Steven Avery , defina el siguiente corchete de Poisson (tenga en cuenta el orden exacto de $\pi _{a}$ y $\psi ^{a}$ ):

{F, gramo}_{PB} = \int d^{3} X [- \frac{d F}{d π_{a} (X)} \frac{d gramo}{d ψ^{a} (X)} + {(- 1)}^{ε_{F} ε_{gramo}} \frac{d gramo}{d π_{a} (X)} \frac{d F}{d ψ^{a} (X)}],

$\left\{ f,g\right\} _{\text{P.B.}}=\int d^{3}x\left[ -\frac{\delta f}{\delta \pi _{a}\left( \mathbf{x}\right) }\frac{\delta g}{\delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }+\left( -1\right) ^{\varepsilon _{f}\varepsilon _{g}}% \frac{\delta g}{\delta \pi _{a}\left( \mathbf{x}\right) }\frac{\delta f}{% \delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }\right] ,$ dónde

ε_{f}

$\varepsilon _{f}$ y

ε_{g}

$\varepsilon _{g}$ son las paridades de Grassmann de

f

$f$ y

g

$g$ , respectivamente. Incluso para Grassmann

f

$f$ y

g

$g$ , este soporte se reduce correctamente al soporte de Poisson habitual. Para el Dirac Lagrangiano 'clásico', formulado en términos de Grassmann-odd

ψ^{a}

$\psi^{a}$ y

π_{a}

$\pi_{a}$ , se vuelve

\begin{array}{rcl} {ψ^{a} (X), π_{b} (y)}_{PB} & = & - \int d^{3} z [\frac{d ψ^{a} (X)}{d π_{C} (z)} \frac{d π_{b} (y)}{d ψ^{C} (z)} + \frac{d π_{b} (y)}{d π_{C} (z)} \frac{d ψ^{a} (X)}{d ψ^{C} (z)}] \\ = & - \int d^{3} z [0 + d_{b}^{C} d^{(3)} (y - z) d_{C}^{a} d^{(3)} (X - z)] \\ = & - d_{b}^{a} d^{(3)} (X - y) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\pi _{b}\left( \mathbf{y}\right) \right\} _{\text{P.B.}} &=&-\int d^{3}z\left[ \frac{\delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }{\delta \pi _{c}\left( \mathbf{z}\right) }\frac{\delta \pi _{b}\left( \mathbf{y}\right) }{\delta \psi ^{c}\left( \mathbf{z}\right) } +\frac{\delta \pi _{b}\left( \mathbf{y}\right) }{\delta \pi _{c}\left( \mathbf{z}\right) }\frac{\delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }{\delta \psi ^{c}\left( \mathbf{z}\right) }\right] \\ &=&-\int d^{3}z\left[ 0+\delta _{b}^{c}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{y}-\mathbf{z}\right) \delta _{c}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{z}\right) \right] \\ &=&-\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{y} \right) . \end{eqnarray*}$ Si

π_{a} = - i ψ_{a}^{†}

$\pi _{a}=-\mathrm{i}\psi _{a}^{\dagger }$ , observe el signo menos, luego

{ψ^{a} (X), ψ_{b}^{†} (y)}_{PB} = - i d_{b}^{a} d^{(3)} (X - y),

$\left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\psi_{b}^{\dagger}\left( \mathbf{y}\right) \right\} _{\text{P.B.}}=-\mathrm{i}\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{y}\right) ,$ que usando el 'soporte cuántico =

i \times

$\mathrm{i} \times$ La regla de los corchetes de Poisson produce la relación de anticonmutación cuántica correcta:

{ψ^{a} (X), ψ_{b}^{†} (y)} = d_{b}^{a} d^{(3)} (X - y) .

$\left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\psi_{b}^{\dagger}\left( \mathbf{y}\right) \right\} =\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{% y}\right) .$

una mente curiosa

¿Qué quiere decir con "por qué no"? ¿Cuál es el resultado real de calcular

\partial L / \partial \dot{ψ}

$\partial\mathcal{L}/\partial \dot{\psi}$ ?

Juan Fredsted

El "por qué no" se entiende retóricamente, ya que creo que debería haber un signo menos proveniente, mientras escribo, pasando la derivada variacional de izquierda a derecha.

Respuestas (1)

¿Relación de anticonmutación de signo incorrecto para el campo de Dirac?

¿Qué quiere decir con "por qué no"? ¿Cuál es el resultado real de calcular $\partial\mathcal{L}/\partial \dot{\psi}$ ?
El "por qué no" se entiende retóricamente, ya que creo que debería haber un signo menos proveniente, mientras escribo, pasando la derivada variacional de izquierda a derecha.

qmecanico · Answer 1

OP pregunta sobre la transformación de Legendre del Lagrangiano a la formulación hamiltoniana de fermiones. Esta pregunta ya ha sido formulada y respondida, por ejemplo , en publicaciones this , this y this Phys.SE.

Enumeremos aquí una serie de puntos sutiles en este cálculo importante e interesante:

De manera más general, deja $\phi^{\alpha}$ denota un campo de Grassmann-paridad $\varepsilon_{\alpha}$ . Al definir el momento canónico impar de Grassmann, ¿deberíamos usar derivadas?
$\begin{matrix} (1) & π_{α}^{R} := \frac{\partial_{R} L}{\partial {\dot{ϕ}}^{α}} = (- 1)^{ε_{α}} \frac{\partial_{L} L}{\partial {\dot{ϕ}}^{α}} =: (- 1)^{ε_{α}} π_{α}^{L} \end{matrix}$ $\pi^R_{\alpha}~:=~\frac{\partial_R {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}}~=~(-1)^{\varepsilon_{\alpha}}\frac{\partial_L {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}}~=:~(-1)^{\varepsilon_{\alpha}}\pi^L_{\alpha}\tag{1}$ que actúan desde la derecha o desde la izquierda? Respuesta corta: debe estar correlacionado con la elección del término cinético $\begin{matrix} (2) & L_{H} = π_{α}^{R} {\dot{ϕ}}^{α} - H = {\dot{ϕ}}^{α} π_{α}^{L} - H \end{matrix}$ ${\cal L}_H~=~\pi^R_{\alpha}\dot{\phi}^{\alpha}-{\cal H}~=~\dot{\phi}^{\alpha}\pi^L_{\alpha}-{\cal H}\tag{2}$ en la densidad hamiltoniana lagrangiana ${\cal L}_H$ . Esto parece resolver la pregunta de OP sobre las convenciones de signos. $^1$
Tenga cuidado de usar una convención de signos consistente para el corchete de Poisson $^2$ (PB)
${F, GRAMO}_{PAG B} = \int d^{3} X (\frac{d_{R} F}{d ϕ^{α} (X)} \frac{d_{L} GRAMO}{d π_{α}^{R} (X)} - \frac{d_{R} F}{d π_{α}^{L} (X)} \frac{d_{L} GRAMO}{d ϕ^{α} (X)})$ $\{F,G\}_{PB}~=~\int d^3x\left( \frac{\delta_R F}{\delta \phi^{\alpha}({\bf x})} \frac{\delta_L G}{\delta \pi^R_{\alpha}({\bf x})}-\frac{\delta_R F}{\delta \pi^L_{\alpha}({\bf x})} \frac{\delta_L G}{\delta \phi^{\alpha}({\bf x})}\right)$
$\begin{matrix} (3) & = - (- 1)^{ε_{F} ε_{GRAMO}} {GRAMO, F}_{PAG B} . \end{matrix}$ $~=~-(-1)^{\varepsilon_F\varepsilon_G}\{G,F\}_{PB}. \tag{3}$ Los PB fundamentales leen $\begin{matrix} (4) & {ϕ^{α} (X), π_{β}^{R} (X^{'})}_{PAG B} = d_{β}^{α} d^{3} (X - X^{'}) = - {π_{β}^{L} (X), ϕ^{α} (X^{'})}_{PAG B}, \end{matrix}$ $\{\phi^{\alpha}({\bf x}), \pi^R_{\beta}({\bf x}^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta^{\alpha}_{\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf x}^{\prime}) ~=~-\{\pi^L_{\beta}({\bf x}),\phi^{\alpha}({\bf x}^{\prime})\}_{PB} ,\tag{4}$ y el resto son cero. Tenga en cuenta que el PB anterior (3) es consistente con las transformaciones supercanónicas y satisface el supersesgo/antisimetría, una identidad superjacobi $\begin{matrix} (5) & \sum_{ciclo F, GRAMO, H} (- 1)^{ε_{F} ε_{H}} {{F, GRAMO}_{PAG B}, H}_{PAG B} = 0, \end{matrix}$ $\sum_{\text{cycl. }F,G,H} (-1)^{\varepsilon_F\varepsilon_H}\{\{F,G\}_{PB},H\}_{PB}~=~0, \tag{5}$ y una superregla de Leibniz . Lo mismo ocurre con el superconmutador. $\begin{matrix} (6) & [\hat{F}, \hat{GRAMO}} := \hat{F} \hat{GRAMO} - (- 1)^{ε_{F} ε_{GRAMO}} \hat{GRAMO} \hat{F} ⟷ i ℏ {F, GRAMO}_{PAG B} + O (ℏ^{2}), \end{matrix}$ $[\hat{F}, \hat{G}\} ~:=~\hat{F}\hat{G}-(-1)^{\varepsilon_F\varepsilon_G}\hat{G}\hat{F} ~\longleftrightarrow~i\hbar\{F,G\}_{PB} +{\cal O}(\hbar^2) ,\tag{6}$ lo cual es consistente con el principio de correspondencia.
En el caso fermiónico, tenga cuidado de no confundir el PB clásico $\{\cdot,\cdot\}_{PB}$ y el anticonmutador cuántico $\{\cdot,\cdot\}_+$ .
Volviendo al ejemplo de OP, ¿podemos tratar $\psi$ y $\psi^{\dagger}$ como variables independientes? Si es así, ¿es el impulso para $\psi^{\dagger}$ ¿cero?
¿La transformación de Legendre es singular? ¿Hay restricciones?

Las respuestas a los últimos puntos 4 y 5 se encuentran en las publicaciones vinculadas de Phys.SE.

--

$^1$ Convencionalmente, se usa $\pi^R_{\alpha}$ en vez de $\pi^L_{\alpha}$ , cf. por ejemplo, un comentario entre eqs. (44.6) y (44.7) en el libro QFT de Srednicki. Un archivo PDF preliminar a la publicación está disponible aquí .

$^2$ Aquí ignoramos una discusión sobre la existencia de derivadas funcionales, que se basan en una elección consistente de condiciones de contorno, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Hoy temprano marqué tu respuesta. Pero más tarde, después de haber descubierto el material de Steven Avery, compare mi actualización anterior, tuve dudas. Me parece que actuar desde la derecha, como sugieres, no es necesario, al menos no al nivel 'clásico'. Pero tal vez solo estoy mezclando corchetes de Poisson y corchetes cuánticos, o lo que parece ser equivalente, el formalismo 'clásico' y el formalismo cuántico. Pero mi punto es, supongo, que me gustaría que la regla habitual del 'soporte cuántico = i veces el soporte de Poisson' sea aplicable también en el caso fermiónico/grassmann-impar.
Muchas gracias. ecuación (3) es particularmente interesante para mí. Voy a mirar más en los detalles en los próximos días. Me hubiera gustado darte un punto de voto positivo, pero mi baja reputación no me permite hacerlo actualmente.

¿Relación de anticonmutación de signo incorrecto para el campo de Dirac?

Juan Fredsted

una mente curiosa

Juan Fredsted

Respuestas (1)

qmecanico

Juan Fredsted

Juan Fredsted

¿Ecuación de Dirac como cuantización canónica?

Relación entre espinores y relación anticonmutación de fermiones

Derivada con respecto a un espinor del lagrangiano libre de Dirac

Ecuación de Dirac como sistema hamiltoniano

Representación del número de Grassmann para fermiones

Número clásico de Fermion y Grassmann

Algunas preguntas sencillas sobre los números de Grassmann: relaciones de conmutación y derivadas

Derivación de la relación anticonmutación entre operadores de creación/aniquilación para fermiones de Dirac

¿El complejo conjugado de una derivada de un número de Grassmann debe incluir un signo?

Relaciones anticonmutación fermiónicas