Relación entre división de polinomios y derivada

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Relación entre división de polinomios y derivada

derivados
Matemáticas
polinomios
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usuario965597

$P(x)$ es un polinomio y es igual a $2x^3 + 2ax^2 +bx +c$ . se da que $P(x)$ se puede dividir por $(x-1)^3$ con resto cero. Entonces, ¿qué es $c$ ?

Esta es una pregunta básica de polinomios, para llegar a la solución usamos la derivada como atajo. Por ejemplo, encontramos $P(1) ,P'(1),P''(1)$ respectivamente. Entonces la respuesta es $2$ ..

Mi pregunta es por qué usamos derivados, no puedo concebir la razón detrás del uso de derivados. Al principio pensé que si $(x-1)^3$ divide $P(x)$ , entonces $(x-1)^2$ y $(x-1)$ divide $P(x)$ , también. Sin embargo, no pude ver ninguna relación con la derivada. ¿Puedes iluminarme?

Tanner

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dxiv

El divisor tiene grado

3

$3$ , por lo que el cociente debe ser una constante. Comparando los coeficientes principales, se tiene que

P (x) = 2 (x - 1)^{3}

$P(x)=2(x-1)^3$ .

Respuestas (3)

Relación entre división de polinomios y derivada

El divisor tiene grado $3$ , por lo que el cociente debe ser una constante. Comparando los coeficientes principales, se tiene que $P(x)=2(x-1)^3$ .

Perezoso · Answer 1

Eso es mucho más fácil de resolver. como grado de $P$ es $3$ $P$ tiene que ser un múltiplo constante de $(x-1)^3$ . El coeficiente de plomo nos da que este factor constante es $2$ y por lo tanto $c=2(-1)^3 = -2$ .

Pero para su pregunta: puede probar fácilmente que $x_0$ es solo una raíz doble de un polinomio si también es una raíz de la derivada, y más general, $x_0$ es una raiz con multiplicidad $n$ si y solo si es raíz de la derivada de la multiplicidad $n-1$ .

De este modo $x-1$ también debe ser una raíz de $P'$ y de $P''$ . Esto significa que $c$ tiene que ser elegido de tal manera que $(x-1)$ es un factor común de $P,P',P''$ .

si elegimos $x=1$ entonces $(x-1)=0$ , entonces

0 = PAG (1) = 2 + 2 a + b + C

$0=P(1) = 2+2a+b+c$

0 = {PAG}^{'} (1) = 6 + 4 a + b

$0=P'(1) = 6+4a+b$

0 = {PAG}^{″} (1) = 12 + 4 a

$0=P''(1) = 12+4a$ Ahora podrías resolver este sistema, es decir

a = - 3

$a=-3$ ,

b = 6

$b=6$ ,

c = - 2

$c=-2$ .

+1: Bien hecho por dejar bastante claro que el método propuesto para resolver este problema en particular no es un atajo: convierte algo que puede hacer en su cabeza en un abrir y cerrar de ojos en una monotonía de álgebra lineal.
@RobArthan Bueno, supongo que puede ser útil en otras situaciones, ya que convierte una ecuación de divisibilidad en polinomios en un sistema de ecuaciones lineales sobre el campo. Digamos $P$ no era grado $3$ , pero grado 10. Luego haciendo un acercamiento $(x-1)^3*Q(x) = P(x)$ sería bastante complicado, y dividir $P$ formalmente por $(x-1)^3$ e igualando el resto a $0$ puede que no sea muy divertido. Pero evaluar tres derivadas y resolver un sistema lineal no es tan difícil.
gracias por tu observacion Me preguntaba sobre el caso en que el polinomio original tiene un grado mayor que el divisor. Me pareció que el sistema lineal tendría más variables que ecuaciones. Pero ahora puedo ver que si le dieran suficientes coeficientes como constantes, podría ahorrar algo de esfuerzo. Parece un ejemplo muy pobre de la técnica.
Sí, parece que el principio es muy limitado. Cualquier raíz con multiplicidad $n$ nos dará $n$ ecuaciones Si evaluamos los polinomos en un punto diferente a la raíz solo obtenemos un divisor del resultado. Si sabemos que todos los factores son polinomios integrales, esto podría usarse para resolver ecuaciones módulo algunos $m$ (en nuestro caso si $x=4$ entonces $(x-1)=3$ , por lo que podríamos intentar resolver el módulo $3$ .
@Lazy "más general, x0 es una raíz con multiplicidad n si y solo si es una raíz de la derivada de multiplicidad n−1", ¿cuál es el nombre de este teorema y cómo puedo llegar a su prueba?
@webboo Un resultado trivial de la regla de multiplicación para la diferenciación: si $P=(x-x_0)^n Q$ entonces $P' = (x-x_0)^nQ' + n(x-x_0)^{n-1}Q = (x-x_0)^{n-1}((x-x_0)Q'+nQ)=(x-x_0)^{n-1}R$ . Como $(x-x_0)| (x-x_0)Q'$ pero $(x-x_0)\not| nQ$ tenemos $(x-x_0)\not| R$ , por lo que la multiplicidad es exactamente $n-1$ .

no usuario · Answer 2

Entonces, para todos $x$ tenemos

2 X^{3} + 2 a X^{2} + b X + C = k (X - 1)^{3} (♠)

$2x^3 + 2ax^2 +bx +c =k(x-1)^3\;\;\;\;\;\;(\spadesuit)$ por alguna constante

k

$k$ . Claramente vemos que si le ponemos

x = 1

$x=1$ obtenemos

2 + 2 a + b + C = 0

$2+2a+b+c =0$ Ahora echemos un vistazo a lo que sucede si tomamos la derivada de

(♠)

$(\spadesuit)$ , obtenemos:

6 X^{2} + 4 a X + b = 3 k (X - 1)^{2} (♢)

$6x^2+4ax+b = 3k(x-1)^2\;\;\;\; (\diamondsuit)$ que vale también para todos

x

$x$ , así en particular, para

x = 1

$x=1$ obtenemos:

6 + 4 a + b = 0

$6+4a+b=0$ y por última vez, si volvemos a tomar la derivada de

(♢)

$(\diamondsuit)$ obtenemos:

12 X + 4 a = 6 k (X - 1)

$12x+4a=6k(x-1)$ que de nuevo es válido para todos

x

$x$ y así también para

x = 1

$x=1$ ...

Aprendiz de máquina · Answer 3

Suponga un cero de orden $p$ para la función $f(x)$ .

Esto implica que podemos escribir $f(x) = (x-x_0)^pg(x)$

Ahora, mira la derivada. $f'(x) = p(x-x_0)^{p-1}g(x) + (x-x_0)^pg'(x)$

Para $p=2$ vemos que el cero de segundo orden dará como resultado $f'(x=x_0)=0$ . Puede repetir la misma lógica para ceros de orden superior.

Relación entre división de polinomios y derivada

usuario965597

Tanner

dxiv

Respuestas (3)

Perezoso

rober arthan

Perezoso

rober arthan

Perezoso

usuario965597

Perezoso

no usuario

Aprendiz de máquina

usuario965597

El polinomio P(x)P(x)P(x) tiene nnn raíces reales en el intervalo [a,b][a,b][a,b]. Demuestre que la derivada (n−1)st(n−1)st(n-1)^{st} tiene al menos una raíz en el intervalo [a,b][a,b][a,b].

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