vectores simultáneamente ortogonales en dos formas bilineales diferentes con matrices diagonales

Estoy interesado en la transformación de similitud ortogonal de matrices diagonales, vea también mis preguntas anteriores propiedades de la transformación de similitud ortogonal y la transformación de similitud ortogonal de una matriz diagonal por una matriz de permutación: dirección inversa . Asumir que$\mathbf{D}$es una matriz diagonal con elementos positivos y diferentes por pares$d_1 > \ldots > d_n > 0$y$\mathbf{Q}$una matriz ortogonal. Si la transformación de semejanza ortogonal$\mathbf{Q}^T \mathbf{D} \mathbf{Q}$es una matriz diagonal, tenemos expresiones

$$\mathbf{q}_i^T \mathbf{D} \mathbf{q}_j = 0$$ para los elementos fuera de la diagonal ($i \neq j$). Al mismo tiempo, tenemos $$\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_j = \mathbf{q}_i^T \mathbf{I} \mathbf{q}_j = 0$$ para estos elementos y$\|\mathbf{q}_i\| = 1$.

Supongo que los vectores unitarios$\mathbf{q}_i$y$\mathbf{q}_j$solo puede ser ortogonal en ambas formas bilineales (es decir, ambas expresiones anteriores son cero) si tienen un elemento$\pm 1$.

¿Alguien tiene un contraejemplo o una idea para una prueba? ¿Puede la prueba abordar elementos individuales?$(i,j)$o tendríamos que considerar todos$(i,j)$? ¿Se perdería la propiedad conjeturada con diferentes suposiciones sobre$\mathbf{D}$, es decir, si algunos elementos de$\mathbf{D}$son idénticos o si algunos son negativos?

Estoy agradecido por cualquier idea.

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Hice un poco de progreso, pero me quedé atascado en un punto posterior.

$\newcommand{\matQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\matD}{\mathbf{D}} \newcommand{\matC}{\mathbf{C}} \newcommand{\vecz}{\mathbf{z}} \newcommand{\vecq}{\mathbf{q}} \newcommand{\vecp}{\mathbf{p}} \newcommand{\pmat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\vecnull}{\mathbf{0}}$

A continuación abandono la suposición de clasificación de los elementos diagonales.

Primero miramos el sistema de ecuaciones para dos columnas$\vecq$y$\vecp$de$\matQ$:

$$\begin{eqnarray} \vecq^T \matD \vecp &=& 0\\ \vecq^T \vecp &=& 0. \end{eqnarray}$$

Podemos transformar este sistema en un sistema lineal homogéneo

$$\begin{equation} \pmat{ d_1 & d_2 & d_3 & \ldots & d_n\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1} \pmat{ z_1\\ \vdots\\ z_n} = \pmat{0\\0} \end{equation}$$

dónde$z_i = q_i p_i$. Transformamos la matriz de coeficientes

$$\begin{equation} \matC = \pmat{ d_1 & d_2 & d_3 & \ldots & d_n\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1} \end{equation}$$

en forma escalonada de fila reducida: Normalizamos$d'_i = d_i / d_1$,

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & d'_2 & d'_3 & \ldots & d'_n\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1}, \end{equation}$$

restar la primera fila de la segunda,

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & d'_2 & d'_3 & \ldots & d'_n\\ 0 & 1-d'_2 & 1-d'_3 & \ldots & 1-d'_n}, \end{equation}$$

normalizar la segunda fila,

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & d'_2 & d'_3 & \ldots & d'_n\\ 0 & 1 & \frac{1-d'_3}{1-d'_2} & \ldots & \frac{1-d'_n}{1-d'_2}}, \end{equation}$$

y reste una versión escalada de la segunda fila de la primera

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & 0 & d'_3 - \frac{1-d'_3}{1-d'_2} d'_2 & \ldots & d'_n - \frac{1-d'_n}{1-d'_2} d'_2\\ 0 & 1 & \frac{1-d'_3}{1-d'_2} & \ldots & \frac{1-d'_n}{1-d'_2}}. \end{equation}$$

Introducimos para$i \geq 3$

$$\begin{eqnarray} a_i &:=& d'_i - \frac{1-d'_i}{1-d'_2} d'_2 = \frac{d'_i (1-d'_2) - (1-d'_i) d'_2}{1-d'_2} = \frac{d'_i - d'_2}{1-d'_2}\\ % b_i &:=& \frac{1-d'_i}{1-d'_2} \end{eqnarray}$$

y obtener la forma escalonada por filas reducida

$$\begin{equation} \matC' = \pmat{ 1 & 0 & a_3 & \ldots & a_n\\ 0 & 1 & b_3 & \ldots & b_n}. \end{equation}$$

Para$d_i \neq d_j\, \forall i \neq j$vemos eso$1-d'_i \neq 0\, \forall i \geq 2$, por lo que los denominadores están definidos y$b_i \neq 0\, \forall i \geq 3$y$a_i \neq 0\, \forall i \geq 3$.

(Este párrafo considera violaciones de la suposición de elementos diferentes por pares en$\matD$. Puede ser útil más adelante. Si$\exists i,j\,(i\neq j): d_i = d_j$, tenemos que distinguir dos casos. Me caigo$d_i$son iguales, entonces el$z_i$puede elegirse arbitrariamente bajo la restricción$\sum_{i=1}^n z_i = 0$. Si hay al menos un par de elementos diagonales que difieren entre sí, podemos seleccionarlos wlog para que sean$d_1$y$d_2$, de este modo$d_1 \neq d_2$y$1-d'_2 \neq 0$. Además, seleccionamos los elementos diagonales de tal manera que$\exists i\,(i\geq 3): d_2 = d_i$. En este caso tenemos$a_i = 0$. si tambien$\exists j\,(j\geq 3): d_1 = d_j$, también tenemos$b_j = 0$. El caso$a_i = b_i = 0$no es posible.)

Ahora determinamos el espacio nulo de$\matC$. De$\matC' \vecz = \vecnull$obtenemos

$$\begin{equation} \begin{matrix} z_1 & & + z_3 a_3 & \ldots & + z_n a_n & = 0\\ & z_2 & + z_3 b_3 & \ldots & + z_n b_n & = 0 \end{matrix} \end{equation}$$

dónde$z_3,\ldots,z_n$son parámetros libres. Esto lleva a

$$\begin{equation} \vecz = \pmat{ -z_3 a_3 & -z_4 a_4 & \ldots & -z_n a_n\\ -z_3 b_3 & -z_4 b_4 & \ldots & -z_n b_n\\ z_3 & & & \\ & z_4 & & \\ & & \ddots & \\ & & & z_n } \end{equation}$$

(Tenga en cuenta que esto no es una matriz, sino un vector escrito de tal manera que cada$z_i$aparece en una columna separada), por lo que el espacio nulo está ocupado por las columnas del$n \times (n-2)$matriz

$$\begin{equation} \pmat{ -a_3 & -a_4 & \ldots & -a_n\\ -b_3 & -b_4 & \ldots & -b_n\\ 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 }. \end{equation}$$

Claramente, podemos encontrar un$\vecz \neq \vecnull$tal que ambas formas bilineales se vuelven cero. Por lo tanto, los vectores individuales$\vecq, \vecp$que cumplen ambas ecuaciones no son necesariamente vectores con un solo elemento distinto de cero en diferentes posiciones: supongamos que$z_i \neq 0$, entonces$q_i \neq 0$y$p_i \neq 0$.

Por lo tanto, obviamente tenemos que considerar toda la matriz$\matQ$:

$$\begin{eqnarray} \vecq_i^T \matD \vecq_j &=& 0\quad \forall i \neq j\\ \vecq_i^T \vecq_j &=& 0 \quad \forall i \neq j. \end{eqnarray}$$

Si pudiéramos demostrar que sólo$\vecz = \vecnull$permite cumplir todas estas ecuaciones, podríamos demostrar que todos los vectores$\vecq_i$solo puede tener exactamente un elemento distinto de cero (que tiene que ser$\pm 1$ya que los vectores son vectores unitarios) que aparece en diferentes posiciones. El argumento procede de la siguiente manera: Si$z_k = q_{i,k} q_{j,k} = 0$para todos$k$, entonces$\vecq_i$tiene cero elementos donde$\vecq_j$tiene elementos distintos de cero y viceversa. Suponga que un vector$\vecq_i$tiene más de un elemento distinto de cero. Dado que el resto$n-1$vectores$\vecq_j$($j \neq i$) tienen al menos un elemento distinto de cero (ya que son vectores unitarios), no sería posible encontrar$n-1$otros vectores$\vecq_j$que tienen su elemento distinto de cero en el$n-2$posiciones cero restantes de$\vecq_i$.

¿Alguna idea de cómo mostrar esto? ¡Gracias!