¿Es la definición "Su transpuesta es su inversa" de una matriz ortogonal equivalente a la definición "Conserva el producto escalar"?

Hace mucho tiempo me enseñaron que un verdadero norte × norte matriz A se llama ortogonal si A A t = I . Pero recientemente aprendí de un libro de DG que A se dice que es ortogonal si conserva el producto escalar:

( A X ) ⋅ ( A y ) = X ⋅ y para todos  X , y ∈ R norte .
¿Son estas dos definiciones equivalentes? Es fácil ver que lo primero implica lo segundo:
( A X ) ⋅ ( A y ) = ( A y ) t ( A X ) = ( y t A t ) ( A X ) = y t X = X ⋅ y
Pero me cuesta mucho pasar de lo segundo a lo primero. ¿Es posible? Gracias por tu tiempo.

Sí, son equivalentes. La forma más fácil de ver esto es darse cuenta de que esto es válido para todos X , y asi que poniendo X = mi i , y = mi j , tienes ( A mi i ) ⋅ ( A mi j ) es el i j -entrada de A A t .
Es ( A mi i ) ⋅ ( A mi j ) el ( i , j ) -entrada de A t A ?
sí, supongo que eso lo convierte en el ( j , i ) -entrada de A A t . funciona.

Respuestas (2)

Suponer A X ⋅ A y = X ⋅ y para todos y .

Recordar que A X ⋅ A y = A T A X ⋅ y .

Entonces ( A T A X − X ) ⋅ y = 0 .

Poner y = A T A X − X para ver eso A T A X = X   ∀ X .

¿Debería ser esa última línea y = A T A X − X ?
@eyeballfrog Gracias.

Note que si

( A X ) ⋅ ( A y ) = X ⋅ y
para cada X , y ∈ R norte entonces
( X ) ⋅ ( A t A y ) = X ⋅ y .
Usando la bilinealidad del producto escalar, tenemos
( X ) ⋅ ( [ A t A − I ] y ) = 0.
Por no degeneración del producto escalar, se cumple
( A t A − I ) y = 0 , ∀ y ∈ R norte .
Por lo tanto
A t A = I ,
y hemos terminado.

¿Es la definición "Su transpuesta es su inversa" de una matriz ortogonal equivalente a la definición "Conserva el producto escalar"?
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