Conexión entre transporte paralelo y SO(n)SO(n)SO(n) de vectores

Aprendí hace unos meses que el transporte paralelo o la derivada covariante del vector a lo largo de un bucle cerrado en la variedad de Riemann solo causan la "rotación" del vector sobre algún ángulo, pero no cambia su magnitud (suponiendo que no haya torsión). Ahora ya sé un un poco más sobre el grupo de mentiras SO (2 o 3) y sus álgebras cuando trato con un cuerpo rígido y siempre tiene que ver con la rotación de vectores. Mi pregunta es si el transporte paralelo o la derivada covariante solo causan la "rotación" del vector cuando se mueve, ¿cómo puedo expresar este transporte paralelo o derivada covariante en términos de solo SO (2 o 3) que actúa en el vector en 2 o 3D reimanm manifold como derivación covariante? ¿tratar solo con la "rotación" del vector cuando se mueve en el colector?

¿ Sería Matemáticas un mejor hogar para esta pregunta?
La derivada covariante no causa la rotación del vector, es el camino que sigue el vector tangente lo que causa la rotación del vector tangente, y la rotación es relativa a su punto de partida. La trayectoria suele ser un triángulo o un paralelogramo. Por ejemplo, si los ángulos del triángulo no suman 180 grados, se considera que el espacio es curvo en relación con el espacio euclidiano.
La derivada covariante en esencia define una línea recta en una variedad curva.

Respuestas (1)

Para cada punto y un lazo cerrado γ : [ 0 , 1 ] → METRO alrededor del punto, el transporte paralelo alrededor γ asigna cada vector tangente a ese punto a un vector tangente del mismo punto. En el caso de la conexión Levi-Civita, este mapa del espacio tangente a sí mismo es, como dijiste, un elemento de SO(N).

Para calcular este mapa (llamado la Holonomía) H o yo ( γ , pag , ∇ ) : T pag METRO → T pag METRO explícitamente, deberá resolver la EDO de transporte paralelo ∇ γ ˙ V = 0 con todas las condiciones iniciales V ( 0 ) . Esta es una EDO lineal y obtendrás que el mapa H o yo = V ( 0 ) → V ( 1 ) es en S O ( T pag METRO ) .

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