Relación de masas del problema de la estrella doble

Su pregunta central parece ser:

¿Por qué las velocidades angulares son iguales? 

Por alguna razón, los artículos de Wikipedia sobre el problema de los dos cuerpos no aclaran este importante punto. Aquí hay un par de diagramas de ese artículo:

Dos cuerpos con masa similar que orbitan un baricentro común externo a ambos cuerpos, con órbitas elípticas, típicas de las estrellas binarias. 

Dos cuerpos con una "ligera" diferencia de masa orbitando un baricentro común. Los tamaños y este tipo de órbita son similares al sistema Plutón-Caronte (en el que el baricentro es externo a ambos cuerpos) y al sistema Tierra-Luna, donde el baricentro es interno al cuerpo más grande.

De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, la fuerza gravitacional entre dos cuerpos actúa a lo largo de la línea recta que conecta sus centros de masa. Esta es la clave de su pregunta sobre las velocidades angulares.

(También se puede demostrar que la gravedad de un cuerpo esféricamente simétrico actúa como si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada en su centro, por lo que podemos tratar el cuerpo como una partícula puntual).

Así que tenemos dos estrellas,$S_1$y$S_2$, ejerciendo fuerza gravitacional entre sí. El centro de masa de este sistema debe estar ubicado en la línea$S_1S_2$que conecta los centros de las dos estrellas. Podemos elegir un marco de referencia con el centro de masa como origen, como en los diagramas anteriores. (Como dice Rob Jeffries, podemos hacer esto debido a la conservación del impulso). Así que llamaré al centro de masa$O$.

Ahora, mientras las estrellas orbitan alrededor$O$las únicas fuerzas que ejercen entre sí siempre actúan a lo largo de la línea$S_1OS_2$, por lo que las estrellas y el centro de masa deben permanecer colineales, aunque la línea$S_1OS_2$gira y puede cambiar de longitud (como lo hace en el ejemplo de la órbita elíptica).

La única forma de que eso suceda es por las velocidades angulares de las dos estrellas,$\omega_1$y$\omega_2$, para ser siempre iguales entre sí. De lo contrario,$S_1OS_2$se convierte en un triángulo, no en una línea recta.

¿Y qué pasó con el signo negativo?

Ese signo negativo simplemente nos dice que los vectores de posición de las dos estrellas,$OS_1$y$OS_2$apuntar en direcciones opuestas. Es decir, las dos estrellas están en lados opuestos de$O$.

En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. Eso significa que las estrellas deben organizarse de modo que el centro de masa permanezca en el mismo lugar.

La única forma en que pueden hacer esto es si orbitan con el mismo período y, por lo tanto, la misma velocidad angular, como se muestra a continuación.

Si ese no fuera el caso, entonces el centro de masa "se tambalearía", lo que claramente no es físico.

Eso también significa que puede escribir inmediatamente

Expresando para magnitudes de fuerza:

Para doble estrella$\omega_1 = \omega_2$, porque es un dipolo giratorio, que cada punto logra$2\pi$rotación en el mismo período$T$. Es decir, imagine un par de personas tomándose de la mano y girando alrededor de su COM. ¿Pueden diferir sus velocidades angulares? No, tienen lo mismo.$\omega$, así como cada punto dipolar a lo largo de la línea que los conecta. Mira esta foto:

Dónde$\omega_n$es el n-ésimo punto a lo largo de la línea que conecta un par de cuerpos y pasa por su velocidad angular baricéntrica.

Entonces, dada la ecuación anterior se reduce a: