Relación de Heisenberg

Creo que su pregunta simplemente ilustra la siguiente propiedad fundamental de la transformada de Fourier: si$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$es una función y$F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$su transformada de Fourier, entonces el producto de los diferenciales cuadráticos medios de ambas funciones está acotado de la siguiente manera. Sin pérdida de generalidad, suponga que$f(x)$es real y$\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,\mathrm{d}\,x = \int_{-\infty}^\infty k\,F(k)\,\mathrm{d}\,k = 0$( es decir , la función y su transformada de Fourier tienen medios de cero), entonces:

$$\sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty x^2\,|f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}}\;\sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty k^2\,|F(k)|^2\,\mathrm{d}\,k}{\int_{-\infty}^\infty |F(k)|^2\,\mathrm{d}\,k}} \geq \frac{1}{2}\qquad(1)$$

Ahora, estoy usando la definición unitaria de la transformada de Fourier aquí:

$$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-i\,k\,x}\,f(x)\,{\rm d}x\qquad(2)$$

Entonces, si conecto$A(k)$en Mathematica, encuentro que su inversa FT es (proporcional a)$e^{-\alpha\,|t|}$. La relación real es:

$$f(x) = e^{-\alpha\,|t|};\qquad F(k) \frac{\sqrt{\frac{2}{\pi }} \alpha}{\alpha^2+k^2}\qquad(3)$$

pero las constantes de proporcionalidad no importan, todas se anulan en (1). Entonces, si conecto las funciones en (3) nuevamente en (1) y simplifico (con Mathematica en mi caso) obtengo$\Delta x \Delta k = 1/\sqrt{2}$dónde:

$$\Delta x = \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty x^2\,|f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}{\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,\mathrm{d}\,x}} = \frac{1}{2\,\alpha}\qquad(4)$$

y

$$\Delta k = \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^\infty k^2\,|F(x)|^2\,\mathrm{d}\,k}{\int_{-\infty}^\infty |F(k)|^2\,\mathrm{d}\,k}} = \alpha\qquad(5)$$

Si compruebo esto con un pulso gaussiano$f(x) = e^{-a\,x^2}$Yo obtengo:

$$F(k) = \frac{e^{-\frac{k^2}{4 a}}}{\sqrt{2} \sqrt{a}}\qquad(6)$$

entonces:

$$\Delta x = \frac{1}{2\,\sqrt{a}};\qquad \Delta k = \sqrt{a}$$

y la Gaussiana satura la desigualdad (1).

Esto es, por supuesto, importante para el Principio de Incertidumbre de Heisenberg porque las coordenadas de momento y las coordenadas de posición (más generalmente, las coordenadas propias correspondientes a cualquier observable$\hat{X}$,$\hat{P}$que cumplen la relación canónica de conmutación$[\hat{X}, \hat{P}]=i\,\hbar\,{\rm id}$) están necesariamente relacionados por una transformada de Fourier (con una escala de las coordenadas de impulso por$\hbar$lanzada después de la transformada de Fourier). Para más detalles, vea mi respuesta aquí .

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Notas al pie:

Observe que, si define una familia de pulsos$f_\alpha(x) = f(\alpha x)$de un "prototipo"$f(x)$, entonces las transformadas de Fourier de la familia son$F(k\,/\,\alpha)\,/\,\alpha$, por lo que el producto de incertidumbres en (1) es el mismo para todos los miembros de la familia: un pulso ancho tiene una FT estrecha.

Además, para probar (1) para la clase de Distribuciones Templadas (ver también aquí ) notamos que probar (1) es equivalente al problema:

Minimizar$\int_\mathbb{R} k^2 |F(k)|^2 \,{\rm d} k$sujeto a:

1. $\int_\mathbb{R} x^2 |f(x)|^2\, {\rm d} x = const$(Encuentre la dispersión de dominio de número de onda más pequeña para una dispersión de dominio de posición constante);

2. $\int_\mathbb{R} x |f(x)|^2\, {\rm d} x = 0$(medio de cero en "coordenadas de posición");

3. $\int_\mathbb{R} k |F(k)|^2\, {\rm d} k = 0$(medio de cero en "coordenadas de número de onda");

4. $\int_\mathbb{R} |f(x)|^2\, {\rm d} x = 1$(funciones de norma constante. Tenga en cuenta que no es necesario suponer$\int_\mathbb{R} |F(k)|^2\, {\rm d} k = 1$como sigue, por los teoremas de Plancherel / Parseval de$\int_\mathbb{R} |f(x)|^2\, {\rm d} x = 1$;

Dado que el producto de las transformadas de Fourier es la transformada de Fourier de la convolución de las distribuciones temperadas relevantes, podemos reescribir$k^2 |F(k)|^2$como:

$$\frac{1}{2\pi} \int_\mathbb{R} e^{-i\,k\,x} (f * f^*)(x) {\rm d} x$$

dónde$f * f^*$es la convolución de$f$con su complejo conjugado. Luego integramos$k^2 |F(k)|^2$sobre toda la línea real, cambie el orden de integración, teniendo cuidado de que la multiplicación de la FT por$i\,k$es equivalente a tomar el FT de la derivada$f^\prime(x)$y así, en el sentido distributivo :

$$\int_\mathbb{R} k^2 |F(k)|^2 \,{\rm d} k = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_\mathbb{R} \delta(x)\,{\rm d}_x^2\left( (f * f^*)(x)\right)\,{\rm d} x = -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_\mathbb{R} f^*(x) f^{\prime\prime}(x) {\rm d} x$$

Asimismo:

$$\int_\mathbb{R} k |F(k)|^2 \,{\rm d} k = -i\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_\mathbb{R} f^*(x) f^{\prime}(x) {\rm d} x$$

Por lo tanto, si aplicamos el cálculo estándar de las técnicas de variación, calculando la variación de nuestra integral para minimizarla con las restricciones explicadas por los multiplicadores de Lagrange, encontramos:

$$2{\rm Re}\left(\int_\mathbb{R}\delta f^*(x)\left( -\sqrt{\frac{2}{\pi}}f^{\prime\prime}(x) +\lambda_1 f^\prime(x)+(\lambda_2 x^2 + \lambda_3 x + \lambda_4)\,f(x)\right){\rm d} x\right) = 0$$

dónde$\delta f^*(x)$es una función de variación arbitraria. Por lo tanto, las funciones para las cuales nuestra integral es extremal cumplen:

$$-\sqrt{\frac{2}{\pi}}f^{\prime\prime}(x) +\lambda_1 f^\prime(x)+(\lambda_2 x^2 + \lambda_3 x + \lambda_4)\,f(x)=0$$

una ecuación diferencial que define un pulso gaussiano general$\exp(-a\,x^2 + b\,x + c)$dónde$a,\,b,\,c\in\mathbb{C}$y${\rm Re}(a) > 0$. Cuando colocamos un pulso gaussiano general de este tipo en el lado izquierdo de (1), encontramos que su extremo es$1/2$.

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Segunda nota al pie:

Ahora entiendo a qué se refiere tu pregunta. Cuando discutimos el HUP, los "spreads" de las funciones de dominio de momento y posición y el producto de "incertidumbre", solemos usar la medida de spread raíz-segundo-momento (desviación estándar). Esto se debe a que es una medida "buena" "general" de dispersión. La medida que requiere su pregunta es la medida de dispersión "Full Width Third Maximum" (FMWTM) (más a menudo las personas usan "Full Width Half Maximum" (FWHM): el ancho del pulso medido entre los puntos donde su intensidad$|\psi|^2$cae a la mitad de su valor máximo). Para las funciones que tiene, esta métrica de distribución es "bien representativa": no hay "bits inestables" en sus funciones. El FWHM para$A(k)$es$2 \sqrt{\sqrt{3}-1} \alpha$, mientras que para su transformada inversa de Fourier es$\log3/\alpha$. El producto de incertidumbre, por las métricas FWTM, es entonces$4 \sqrt{\sqrt{3}-1} \log 3$lo que da como resultado alrededor de 1.9.

Para funciones monótonamente decrecientes, FWHM, FWTM y medidas similares de dispersión dan una idea intuitiva y fiable de la dispersión de una función. Sin embargo, las funciones pueden tener "bits ondulados arbitrariamente delgados" que hacen que estas medidas no sean confiables. Piense, por ejemplo, en la función$\exp(-1000\,x^2) + \exp(-x^2)/4$. Tienes una punta muy delgada$\exp(-1000\,x^2)$en el medio, sin embargo, la mayor parte de la norma cuadrada de la función es aportada por el$\exp(-x^2)/4$parte. El FWTM es del orden de 0,001. Pero la mayor parte de la transformada de Fourier de la función proviene de la$\exp(-x^2)/4$poco. En el espacio de Fourier, el FWHM será del orden de 1. Entonces obtenemos un producto de incertidumbre de 0.001. Puede usar este tipo de ejemplo para mostrar que, con medidas como FWHM, FWTM, puede lograr productos de incertidumbre arbitrariamente pequeños . Estas medidas no siempre dan una buena idea intuitiva del comportamiento general de una función y, como podemos ver arriba, no capturan la idea del Principio de Incertidumbre de Heisenberg.