¿Por qué la incertidumbre es mínima para los estados coherentes?

Como probablemente sepa, para cualquier partícula el producto de las incertidumbres en la posición,$\Delta x$, y el impulso$\Delta p$( no $\delta y$como usted dice) está acotado a continuación por una constante positiva;

$$\Delta x\, \Delta p\geq\frac{\hbar}{2}.$$ (Si esto no le suena, necesita leer sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg ). Para estados generales, el producto de incertidumbre probablemente será bastante mayor que $\hbar$, y para los objetos clásicos será mucho mayor. Sin embargo, si queremos ser muy precisos acerca de una medida, nos gustaría que la partícula tuviera una incertidumbre mínima : es decir, querríamos imponer la condición $$\Delta x\, \Delta p=\frac{\hbar}{2}.\tag{1}$$ Los estados que obedecen a esta condición se denominan estados coherentes .

Un poco más técnicamente, las soluciones generales a la ecuación (1) se denominan estados coherentes comprimidos , esencialmente porque podemos "exprimir" la incertidumbre de$x$en$p$o viceversa. Si la partícula está en un potencial de oscilador armónico, entonces podemos elegir una forma única de "dividir" el producto de incertidumbre en partes de posición y momento "mínimas",

$$\Delta x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}},\;\Delta p=\sqrt{\frac{1}{2}m\omega\hbar },$$ usando la información dimensional contenida en $\omega$y $m$.

Los estados que satisfacen$\Delta x\Delta p= \frac{\hbar}{2}$(es decir, la igualdad estricta en lugar de una desigualdad) se denominan "estados inteligentes". Los estados coherentes son un subconjunto de estados inteligentes, pero no todos los estados inteligentes son coherentes.

si asumes$\hat A$y$\hat B$son hermíticos, y definen, para un estado dado$\vert\psi\rangle$, el operador

$$\Delta \hat A = \hat A - \langle A\rangle$$ entonces $\Delta \hat A$vuelve a ser hermitiano. Definiendo ahora las abreviaturas $$\vert\psi_A\rangle = \Delta \hat A\vert\psi\rangle \, ,\qquad \vert\psi_B\rangle = \Delta \hat B\vert\psi\rangle$$ uno usa la desigualdad de Schwarz para mostrar que $$\langle \psi_A\vert \psi_A\rangle \langle \psi_B\vert \psi_B\rangle \ge \vert \langle \psi_A\vert \psi_B\rangle\vert^2$$ Para futuras referencias, que $$\begin{equation} \langle \psi_A \vert \psi_A \rangle\langle \psi_B \vert \psi_B \rangle= \vert\langle \psi_A \vert \psi_B \rangle\vert^2\Rightarrow \vert{\psi_A}\rangle =\mu\,\vert{\psi_B}\rangle\, , \tag{1} \end{equation}$$ es decir, la igualdad estricta implica $\vert{\psi_A}\rangle$es un múltiplo escalar de $\vert{\psi_B}\rangle$.

Expandir

$$\begin{eqnarray} \langle \psi_A \vert \psi_B \rangle&=& \langle \psi \vert\Delta \hat A\Delta \hat B\vert \psi \rangle \\ &=&\textstyle\frac{1}{2}\langle \psi \vert(\Delta \hat A\Delta \hat B-\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert{\psi}\rangle +\textstyle{\frac{1}{2}}\langle {\psi}\vert (\Delta \hat A\Delta \hat B+\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert \psi \rangle\, . \tag{2} \end{eqnarray}$$ Uno muestra fácilmente que ambos términos en el lado derecho de (2) no son negativos. Si mantenemos solo el $\textstyle\frac{1}{2}\langle \psi \vert(\Delta \hat A\Delta \hat B-\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert{\psi}\rangle$término obtenemos la desigualdad estándar de Robertson, eventualmente escrita después de alguna reorganización como
$$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}\vert \langle \psi\vert [\hat A,\hat B]\vert\psi \rangle\vert$$ Para obtener la igualdad estricta, debemos encontrar adicionalmente estados que satisfagan la Ec. (1) y anular simultáneamente el segundo término en la Ec. (2), es decir, estados que satisfagan simultáneamente $$\begin{align} \Delta \hat A\vert\psi\rangle &=\mu \Delta \hat B\vert\psi\rangle\, , \tag{3} \\ \langle {\psi}\vert (\Delta \hat A\Delta \hat B+\Delta \hat B\Delta \hat A)\vert \psi \rangle&=0\, . \tag{4} \end{align}$$ Usando (3) y su complejo conjugado se puede reescribir (4) como $$0=\mu^*\langle{\psi}\vert (\Delta \hat B)^2\vert{\psi}\rangle +\mu \langle {\psi}\vert (\Delta\hat B)^2\vert{\psi}\rangle$$ pero desde $\langle{\psi}\vert (\Delta \hat B)^2\vert{\psi}\rangle$debe ser real, $\mu$debe ser puramente imaginario, es decir $\mu=i \beta$, con $\beta$real. De ahí la condición de $\vert\psi\rangle$es $$(\hat A-i\beta \hat B)\vert\psi\rangle =\lambda \vert\psi\rangle \, ,\qquad \lambda = \langle A\rangle -i \beta \langle B\rangle\, .$$ Además también tenemos $$(\Delta A)^2 =\beta^2 (\Delta B)^2 \tag{5}$$ Tomando $\hat A=\hat x$y $\hat B=\hat p$y usando $[\Delta \hat x,\Delta \hat p]=i\hat I$uno entonces muestra que $$(\Delta p)^2 =-1/(2\beta)\, ,\qquad (\Delta x)^2=-\beta/2\, ,$$ lo que implica que $\beta$es negativo y eso $\beta=-\Delta x/\Delta p$. Los estados inteligentes entonces satisfacen $$\begin{align} (\hat x-i\beta \hat p)\psi(x)&= (x_0 -i\beta p_0)\psi(x)\, ,\\ &= (x+\beta \frac{d}{dx})\psi(x)\tag{6} \end{align}$$ dónde $\langle x\rangle=x_0$y $\langle p\rangle=p_0$.
La solución a (6) es (hasta la normalización) $$\psi(x)=C^{(x-\langle x\rangle)^2)/(2\beta) - i\langle p\rangle x} \tag{7}$$ El estado coherente es el caso de $\beta=-1$. Con $\beta=-1$la solución $\psi(x)$es entonces sólo una Gaussiana centrada en $(x,p)$en $(x_0,p_0)$. Este es el estado coherente, que por construcción satisface $\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar$.

Para todos los demás valores$-\infty<\beta <0$, con$\beta\ne -1$, los estados son inteligentes ($\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar$por construcción) y exprimido ya que, por (5), la incertidumbre en uno de$x$o$p$es menor que entonces la incertidumbre en el otro.