Relación de dispersión del paquete de ondas de la ecuación de Schrödinger

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Relación de dispersión del paquete de ondas de la ecuación de Schrödinger

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Tengo una pregunta sobre la derivación de la relación de dispersión de un paquete de ondas a partir de la ecuación de Schrödinger.

El paquete de ondas viene dado por

ψ (X, t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d k}{2 π} ϕ (k) {mi}^{i (k X - ω (k) t)}

$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}\,\phi(k)\,e^{i(kx-\omega(k)t)}$

dónde $\phi(k)$ es la transformada de Fourier de $\psi(x,t=0)$

ϕ (k) = \int_{- \infty}^{\infty} d X ψ (X, 0) {mi}^{- i k X},

$\phi(k)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\psi(x,0)\,e^{-ikx},$

es decir $\phi(k)=|\phi(k)|\,e^{i\,\varphi(k)}$ con $\varphi(k) \in \mathbb{R}$ en general.

Reemplazando la forma general del paquete de ondas en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

[i ℏ \partial_{t} + ℏ^{2} \frac{\nabla^{2}}{2 metro}] ψ (X, t) = 0

$\left[i\hbar \partial_t+\hbar^2\frac{\nabla^2}{2m}\right]\psi(x,t)=0$

por lo tanto rendimientos

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d k}{2 π} ϕ (k) [ℏ ω (k) - ℏ^{2} \frac{k^{2}}{2 metro}] {mi}^{i (k X - ω (k) t)} = 0.

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}\,\phi(k)\,\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right]\,e^{i(kx-\omega(k)t)}=0.$

Mi pregunta es:

¿Cuál es el razonamiento que $\omega(k)=\frac{\hbar\,k^2}{2m}$ dado que $\phi(k) \in \mathbb{C}$ , es decir $\phi(k)\ngtr 0$ y $e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ ? Desde entonces, la integral que se desvanece no puede producir un núcleo de integral que se desvanece.

¡Muchas gracias de antemano!

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@AccidentalFourierTransform Gracias por la edición, pero realmente quería decir

ϕ (k) ≯ 0

$\phi(k)\ngtr 0$ y

e^{i (k x - ω (k) t)} ≯ 0

$e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ (o equivalente

ϕ (k) ≮ 0

$\phi(k)\nless 0$ y

e^{i (k x - ω (k) t)} ≮ 0

$e^{i(kx-\omega(k)t)}\nless 0$ ) ya que existe la posibilidad de un cruce por cero. En consecuencia, no se puede concluir que

[ℏ ω (k) - ℏ^{2} \frac{k^{2}}{2 m}] = 0

$\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right] =0$ .

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¡Oh, disculpas entonces! Pero de todos modos, ¿qué significa

>

$>$ y

<

$<$ significa aquí? No hay pedidos (totales) en

C

$\mathbb C$ .

librecharly

a que te refieres con los simbolos

≯

$\ngtr$ (no mayor que) y

≮

$\nless$ (no menos que) en el contexto de los números complejos?

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@AccidentalFourierTransform ¡Perdón por la confusión y la escritura descuidada! De hecho, quise decir que dado que no hay orden en

C

$\mathbb{C}$ no se puede afirmar que cualquiera de las funciones sea positiva o negativa. Esa era en realidad mi pregunta: ¿Cómo se puede inferir la relación de dispersión si no se puede hacer una declaración sobre los integrandos?

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@freecharly Mi entendimiento actual es que uno exige que la ecuación de Schrödinger se cumpla para cada

ϕ (k) \in C

$\phi(k) \in \mathbb{C}$ y por cada

ω (k)

$\omega(k)$ y

k

$k$ tal que el paréntesis interior debajo de la integral tiene que ser idénticamente cero.

librecharly

@elduge - Tienes razón. La integral de Fourier del paquete de ondas lo representa por sus componentes de onda sinusoidal

ϕ (k) e x p i (k x - ω t)

$\phi (k) expi(kx-\omega t)$ . Como puede ver en el integrando de su última ecuación, la relación de dispersión debe mantenerse para cualquier amplitud de onda sinusoidal que no desaparezca

ϕ (k)

$\phi(k)$ .

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Relación de dispersión del paquete de ondas de la ecuación de Schrödinger

@AccidentalFourierTransform Gracias por la edición, pero realmente quería decir $\phi(k)\ngtr 0$ y $e^{i(kx-\omega(k)t)}\ngtr 0$ (o equivalente $\phi(k)\nless 0$ y $e^{i(kx-\omega(k)t)}\nless 0$ ) ya que existe la posibilidad de un cruce por cero. En consecuencia, no se puede concluir que $\left[\hbar\,\omega(k)-\hbar^2\frac{k^2}{2m}\right] =0$ .
¡Oh, disculpas entonces! Pero de todos modos, ¿qué significa $>$ y $<$ significa aquí? No hay pedidos (totales) en $\mathbb C$ .
a que te refieres con los simbolos $\ngtr$ (no mayor que) y $\nless$ (no menos que) en el contexto de los números complejos?
@AccidentalFourierTransform ¡Perdón por la confusión y la escritura descuidada! De hecho, quise decir que dado que no hay orden en $\mathbb{C}$ no se puede afirmar que cualquiera de las funciones sea positiva o negativa. Esa era en realidad mi pregunta: ¿Cómo se puede inferir la relación de dispersión si no se puede hacer una declaración sobre los integrandos?
@freecharly Mi entendimiento actual es que uno exige que la ecuación de Schrödinger se cumpla para cada $\phi(k) \in \mathbb{C}$ y por cada $\omega(k)$ y $k$ tal que el paréntesis interior debajo de la integral tiene que ser idénticamente cero.
@elduge - Tienes razón. La integral de Fourier del paquete de ondas lo representa por sus componentes de onda sinusoidal $\phi (k) expi(kx-\omega t)$ . Como puede ver en el integrando de su última ecuación, la relación de dispersión debe mantenerse para cualquier amplitud de onda sinusoidal que no desaparezca $\phi(k)$ .

librecharly · Answer 1

No existe una ecuación de dispersión específica para un paquete de ondas. La ecuación de dispersión

\begin{matrix} (1) & ω (k) = \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} \end{matrix}

$\omega (k)=\frac {\hbar k^2}{2m} \tag 1$ de la ecuación de Schrödinger para una partícula con energía potencial constante (cero) se cumple para soluciones de ondas planas

\begin{matrix} (2) & ψ = ψ_{0} Exp i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t) \end{matrix}

$\psi=\psi_0 \exp i(\vec k·\vec r-\omega t) \tag 2$ El paquete de ondas se compone de una superposición de dichas ondas planas.

¿Por qué no existe una relación de dispersión para un paquete de ondas? ¿No debería haber uno si una partícula se describe mecánicamente cuánticamente por un paquete de ondas? Por ejemplo, en wikipedia se afirma que existe uno.
Las relaciones de dispersión dan la relación funcional. $\omega=f(k)$ entre la frecuencia $\omega$ (o energía $E=\hbar \omega)$ y vector de onda (momento $p=\hbar k)$ de una onda sinusoidal. Esto significa mecánicamente cuánticamente que la onda sinusoidal es tanto una función propia del operador de energía como de momento y, por lo tanto, tanto la energía como el momento de la partícula se conocen exactamente, mientras que la posición es completamente indeterminada. Un paquete de ondas no es una función propia (simultánea) del operador de energía y momento y, por lo tanto, la energía y el momento de la partícula no están exactamente definidos.
@elduge: en el enlace indicado, Wikipedia no proporciona una relación de dispersión para un paquete de ondas. La relación de dispersión allí corresponde a la ec. (1) y es nuevamente la relación entre la frecuencia y el vector de onda de una onda sinusoidal.
Lo siento, pero no puedo seguir tu razonamiento. Incluso para un paquete de ondas, los operadores de energía y momento tienen las mismas funciones propias para un potencial constante, ya que $\left[\hat{P},\hat{H}\right] = \left[\hat{P},\hat{V}\right]$ . Por lo tanto, uno debería poder medirlos simultáneamente y debería existir una relación de dispersión para un paquete de ondas. ¿O mi razonamiento es incorrecto?
Por otro lado, ¿no debería haber una relación de dispersión para un paquete de ondas con velocidad de fase no constante si se extiende en el tiempo, es decir, se dispersa ?
@elduge: el paquete de ondas, en general, no es una función propia del operador de energía y momento. Para la energía y el impulso, obtiene valores esperados e incertidumbres finitas. Los componentes de Fourier $\phi(k) expi(kx-\omega t)$ son funciones propias del operador de energía y cantidad de movimiento. El paquete de ondas se compone de muchas sinusoides con diferentes frecuencias y vectores de onda.
@elduge: la dependencia no lineal de las frecuencias y los vectores de onda de los componentes de Fourier del paquete de ondas conduce a la "dispersión" de la forma de onda.

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