Interpretación de texto en la introducción de Griffith a QM

Question

Interpretación de texto en la introducción de Griffith a QM

Matón

Dice en el capítulo 2.1 de Griffith que:

$\begin{matrix} (2.14) & Ψ (X, t) = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} ψ_{norte} (X) {mi}^{(- i {mi}_{norte} t / ℏ)} \end{matrix}$ $\tag{2.14} \Psi(x,t)~=~\sum_{n=1}^{\infty}c_n\,\psi_n(x) e^{(-iE_n t/\hbar)}$ Sucede que cada solución de la ecuación de Schrödinger (dependiente del tiempo) se puede escribir de esta forma [...].

Por "solución" quiere decir soluciones en forma separable

$\tag{2.1} \Psi(x,t)~=~\psi(x)f(t),$

que dijo para empezar?

`

Joren

2.14 es más o menos equivalente a decir que cada vector se puede escribir como una combinación lineal de un conjunto de vectores base.

Vladímir Kalitvianski

@Joren: Se parece, pero no es lo mismo. Cuando representas una función propia exacta

ψ_{k}

$\psi_k$ del hamiltoniano total

\hat{H}

$\hat{H}$ como una combinación lineal de los estados propios de un hamiltoniano no perturbado

{\hat{H}}_{0}

$\hat{H}_0$ como

ψ_{k} = \sum c_{k n} ψ_{n}^{(0)}

$\psi_k=\sum c_{kn}\psi_n^{(0)}$ , en el experimento nunca encontrarás ningún estado con energía

E_{n}^{(0)}

$E_n^{(0)}$ .

Respuestas (2)

Interpretación de texto en la introducción de Griffith a QM

2.14 es más o menos equivalente a decir que cada vector se puede escribir como una combinación lineal de un conjunto de vectores base.
@Joren: Se parece, pero no es lo mismo. Cuando representas una función propia exacta $\psi_k$ del hamiltoniano total $\hat{H}$ como una combinación lineal de los estados propios de un hamiltoniano no perturbado $\hat{H}_0$ como $\psi_k=\sum c_{kn}\psi_n^{(0)}$ , en el experimento nunca encontrarás ningún estado con energía $E_n^{(0)}$ .

Motl de Luboš · Answer 1

No, por una solución se refiere a cualquier solución, es decir, una función $\Psi(x,t)$ que satisfaga la ecuación de Schrödinger y que normalmente no se podrá escribir en el $a(x)b(t)$ forma separada. La afirmación de que cualquier solución puede escribirse en la forma de suma que citó es la afirmación de que las soluciones en la forma separada son "suficientes" porque la solución más general puede escribirse como su superposición.

No hay realmente ninguna ambigüedad en el texto.

@user25504: Una solución general de este tipo no tiene cierta energía. En un proceso de medición se observan diferentes estados propios con probabilidades $|c_n|^2$ , no un estado propio. Cierta y conservada es la energía media del estado. $\bar{E}=\langle \Psi|\hat{H}|\Psi\rangle$ (si el hamiltoniano es independiente del tiempo, por supuesto).

Jorge Lavín · Answer 2

Esa función de onda es una serie.

Ψ (X, t) = \sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} (X) {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ}

$\Psi(x,t)=\sum_{n}c_{n}\psi_{n}(x)e^{-iE_{n}t/\hbar}$

cada término (de índice, digamos $j$ ) parece una solución separable

Ψ_{j} (X, t) = ψ_{j} (X) {mi}^{- i {mi}_{j} t / ℏ} = ψ (X) F (t)

$\Psi_{j}(x,t)=\psi_{j}(x)e^{-iE_{j}t/\hbar}=\psi(x)f(t)$

y debido a que la ecuación es lineal, si $\Psi_{j}$ es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, entonces

Ψ (X, t) = \sum_{norte} C_{norte} Ψ_{norte} (X, t)

$\Psi (x,t)=\sum_{n}c_{n}\Psi_{n}(x,t)$

es la solución más general.

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Matón

Joren

Vladímir Kalitvianski

Respuestas (2)

Motl de Luboš

Vladímir Kalitvianski

Jorge Lavín

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