Relación de completitud parcial para espinores de Dirac

Question

Relación de completitud parcial para espinores de Dirac

rastro
Física
espinores
matrices de dirac
elementos de matriz
partículas fisicas

Fratauro

al estudiar técnicas de trazas para obtener elementos de matriz, me encontré con un problema cuando tratamos la dispersión de neutrinos en protones. De hecho, dado que esos neutrinos supuestamente se crean en una desintegración débil, todos son zurdos. Esto significa que, al tomar la suma de todos los espines, no sumamos los dos espines del neutrino.

Por lo general, usamos la relación $\sum_s u^s\overline{u}^s= \gamma^{\mu}p_\mu+m$ donde s representa el estado de espín (hacia arriba o hacia abajo). Esto se puede demostrar resolviendo explícitamente la ecuación de Dirac usando la representación de Pauli de la matriz, o usando el método sin representación que se ilustra aquí: https://arxiv.org/pdf/physics/0703214.pdf .

Ahora, estoy tratando de ver si hay una notación libre de representación para $u^{up}\overline{u}^{up}$ . Estoy de acuerdo con derivarlo con un método dependiente de la representación, pero me gustaría un resultado que sea libre de representación para poder usarlo con las técnicas de rastreo.

He encontrado más información: si tomamos $\frac{S_z+1}{2}(\gamma^{\mu}p_{\mu}+m$ entonces es igual a $u^{up}\overline{u}^{up}$ porque es acción sobre $u^s,v^s$ para $s=(up,down)$ es el mismo. Así que el problema que queda es expresar $S_z$ como una función de las matrices gamma, si eso es posible.

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qué es

S_{z}

$S_z$ ? ¿Es el generador de rotaciones? (en ese caso,

S_{z} = \frac{i}{4} [γ_{1}, γ_{2}]

$S_z=\frac{i}{4}[\gamma_1,\gamma_2]$ , como siempre)

Fratauro

En efecto,

S_{z}

$S_z$ es el generador de rotaciones, y me imaginé su relación con las matrices gamma. ¡Tal vez debería haber pensado un poco antes de preguntar!

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no hay problema. Recuerde que si encontró la respuesta usted mismo, se le anima a publicar la respuesta a continuación para que pueda ser útil para futuros lectores. Gracias por su colaboración :-)

Respuestas (1)

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qué es $S_z$ ? ¿Es el generador de rotaciones? (en ese caso, $S_z=\frac{i}{4}[\gamma_1,\gamma_2]$ , como siempre)
En efecto, $S_z$ es el generador de rotaciones, y me imaginé su relación con las matrices gamma. ¡Tal vez debería haber pensado un poco antes de preguntar!
no hay problema. Recuerde que si encontró la respuesta usted mismo, se le anima a publicar la respuesta a continuación para que pueda ser útil para futuros lectores. Gracias por su colaboración :-)

Fratauro · Answer 1

Aquí está la respuesta. Usaremos del documento vinculado que $\overline{u}^su^{s'} = 2m\delta^{ss'}$ y $\overline{u}^sv^{s'} = 0$ . También sabemos que el operador $\gamma^{\mu}p_{\mu}+m$ "selecciona" espinores de partículas en el sentido de que $(\gamma^{\mu}p_{\mu}+m)u^s = 2mu^s$ y $(\gamma^{\mu}p_{\mu}+m)v^s = 0$ .

También sabemos, usando las relaciones del artículo que $u^{up}\overline{u}^{up}$ da 0 en cada espinor excepto $u^{up}$ , por lo que se obtiene $2m$ .

Encontramos entonces que todo lo que tenemos que hacer es primero seleccionar la partícula espinora y luego seleccionar la parte que gira hacia arriba. Esto se hace simplemente concatenando los dos operadores, dando como resultado: $u^{up}\overline{u}^{up} = \frac{\Sigma_z+1}{2}(\gamma^{\mu}p_{\mu}+m)$ . Aquí $\Sigma_z$ es la matriz de Pauli extendida, definida por $\Sigma_z u^{up} = u^{up}$ , $\Sigma_z u^{down} = -u^{down}$ e inversamente para espinores de antipartículas. Todo lo que queda por hacer es expresar esto en términos de las matrices gamma solamente. Esto se hace simplemente notando $\Sigma_z = i\gamma^1\gamma^2$ .

Por lo tanto, la respuesta es: $u^{up}\overline{u}^{up} = \frac{i\gamma^1\gamma^2+1}{2}(\gamma^{\mu}p_{\mu}+m)$ . Y se puede comprobar, como era de esperar, que $u^{up}\overline{u}^{up}+u^{down}\overline{u}^{down} = (\gamma^{\mu}p_{\mu}+m)$

por qué $\frac{\Sigma_z+1}{2}(\not p+m)$ y no $(\not p+m)\frac{\Sigma_z+1}{2}$ ? en otras palabras, ¿cómo sabemos cuál es el orden correcto de los proyectores?
Si comparamos la acción de los dos ordenamientos, parecería que los dos operadores son iguales. Sin embargo, parece que no puedo mostrarlo mediante la relación de conmutación ... Definitivamente hay algo sospechoso aquí
si, eso es lo que pensaba... y en general $\Sigma_z$ y $\not p$ no conmutar Tal vez la expresión correcta es con $\boldsymbol p\cdot\boldsymbol \Sigma$ en lugar de $\Sigma_z$ ?
De hecho, entonces usaríamos las relaciones de completitud para helicidades, en lugar de espines. entonces sería $\frac{\boldsymbol p\cdot\boldsymbol \Sigma}{p}$ en lugar de $\Sigma_z$ . ¿Pero la helicidad conmuta con $\not p$ ?En cualquier caso, deberíamos poder usar cualquiera de ellos, por lo que una fórmula debería ser posible en ambos casos, ¿verdad?
de mi cabeza, no sé si la matriz de helicidad conmuta con $\not p$ , pero me parece que debería. Después de todo, conmuta con el hamiltoniano de Dirac (porque se conserva la helicidad) y también conmuta con $\gamma^0$ , y por lo tanto supongo que conmuta con $\not p$ .
Creo que lo he descubierto: tienes toda la razón, deberíamos usar helicity (conmuta con $\not p$ , lo comprobé). Eso funciona. La razón por la que no podemos usar el espín es porque, para un momento distinto de cero, las soluciones de la ecuación de Dirac de partículas libres tampoco pueden ser estados propios del espín, debido a los conmutadores distintos de cero. De ahí el uso de $\Sigma_z$ Está Mal ! Sin embargo, en el caso que estaba considerando, el impulso del neutrino estaba a lo largo de z, por lo que la fórmula se simplifica al caso de espín. Voy a corregir la solución, gracias!

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