¿Los espinores asesinos conocen información global?

Las ecuaciones de espinor de Killing conformes en R × S 3 en la firma de Minkowski son

∇ m ϵ = ± i 2 γ m γ 0 γ 5 ϵ
cuya solución es
ϵ = mi i X 0 γ 5 / 2 ϵ 0
dónde ϵ 0 es un espinor constante. Tenga en cuenta que identificamos S 3 con S tu ( 2 ) y use los campos vectoriales invariantes a la izquierda de S tu ( 2 ) como un marco ortonormal. Para obtener más detalles, consulte la ecuación 2.20 en el siguiente documento.

http://arxiv.org/abs/hep-th/0605163v3

Cuando el índice superconforme se interpreta como una función de partición en S 1 × S 3 en la firma euclidiana, los espinores de Killing conformes se modifican por la rotación de Wick ϵ = mi − X 0 γ 5 / 2 ϵ 0 como en los siguientes documentos.

http://arxiv.org/pdf/1104.4482v3 http://arxiv.org/abs/1104.4470

Sin embargo, ϵ = mi − X 0 γ 5 / 2 ϵ 0 no está bien definido en el círculo temporal S 1 .

Este problema también ocurre en el espinor Killing en A d S 3 . la métrica de A d S 3 en la firma de Minkowski se puede escribir como

d s 2 = − aporrear 2 ⁡ ρ d t 2 + pecado 2 ⁡ ρ d ϕ 2 + d ρ 2   .
Los espinores Killing en esta coordenada toman la forma
mi 1 2 ρ γ 3 mi − i 2 ( ϕ + t ) γ 1 ϵ 0
como en http://arxiv.org/abs/hep-th/9310194 . Sin embargo, cuando se considera el género elíptico T r ( − 1 ) F q L 0 − C / 24 q ¯ L ¯ 0 − C ¯ / 24 y j , los duales a granel que satisfacen el EOM de la teoría de la supergravedad son la térmica euclidiana A d S 3 y la familia de su S L ( 2 , Z ) transformaciones como la BTZ BH. Luego, de nuevo los espinores Killing en la térmica euclidiana A d S 3 coje la forma
mi 1 2 ρ γ 3 mi ( − i ϕ 2 + t 2 ) γ 1 ϵ 0
que tampoco están bien definidos en el círculo temporal.

Las ecuaciones del espinor Killing en sí mismas son locales, entonces, ¿el espinor Killing solo conoce información local? Si es así, ¿cómo se distinguen los espinores Killing en el NS de la condición límite R en 2-torus?

Respuestas (1)

Los campos espinores son secciones de un paquete espinoso, por lo que debe tener cuidado cuando trabaje con ellos como si fueran funciones. Para un campo spinor, las nociones de ser paralelo, Matar, Matar conforme,... tienen perfecto sentido globalmente como ecuaciones en secciones del haz spinor, pero tienes que especificar qué paquete.

Los paquetes de espinor son paquetes de vectores asociados a un paquete de espín, que es un elevador del paquete de marco ortonormal orientado. Los ascensores no necesitan existir o, si existen, ser únicos, por lo tanto, hay variedades en las que no puede definir un paquete de espín y variedades en las que tiene más de un paquete de este tipo. La obstrucción para la existencia de una estructura de espín es la orientabilidad y la desaparición de la segunda clase Stiefel-Whitney del haz tangente. Si una variedad M admite una estructura de espín, entonces puede admitir más de una: se clasifican por H 1 ( METRO , Z 2 ) que es isomorfo al conjunto de homomorfismos de grupo del grupo fundamental a Z 2 . En términos generales, esto mide cómo puede asignar signos de manera consistente a bucles no contráctiles.

El círculo tiene un grupo fundamental. Z y como hay dos homomorfismos Z → Z 2 , hay dos estructuras de espín diferentes, que en la teoría de cuerdas suelen llamarse NS y R, para diversión de los geómetras de espín de todo el mundo.

Por lo tanto, la lección es que antes de que puedas hablar de eso <insert your favourite spinor equation>, debes decir cuáles son tus espinores; es decir, de qué haz espinor son secciones.

Una analogía aproximada (que se puede precisar en este caso) es que tiene ecuaciones y luego condiciones de contorno y ambas son necesarias para definir el problema. El análogo de las condiciones de contorno es especificar el paquete de espinor. De hecho, este es el caso del círculo: donde el campo de espinor cambiará por un signo o no a medida que te muevas a lo largo del círculo.

No es raro que las variedades admitan estructuras de espín no equivalentes, que haya campos de espinor paralelos, Killing,... relativos a una de las estructuras de espín, pero no relativos a otras. De hecho, esta es la situación genérica.

En resumen, la respuesta a la pregunta del título es enfáticamente Sí .

Más observaciones

Esto puede responder a la pregunta del OP en el comentario a una versión anterior de esta respuesta.

Hay que tener cuidado para concluir que un campo de espinor no obedece a las condiciones de periodicidad correctas. De hecho, uno debe recordar que existe una simetría "de calibre" cada vez que se trata con secciones de fibrados vectoriales asociados a fibrados principales, y esa es la libertad de realizar una función local. GRAMO -transformación, donde GRAMO es el grupo de estructura del paquete. En el caso de los haces de spinor, el grupo de estructura es el grupo de Spin relevante. Por lo tanto, podría ser que la discrepancia en el signo sea simplemente un artefacto de la elección del marco y pueda corregirse mediante una transformación Spin local. Con disculpas por referirme a mi propio trabajo, un ejemplo ilustrativo de esto ocurre al final de §3.2.2, particularmente alrededor de la ecuación (32), en mi artículo con Gutowski y Sabra sobre preones de 4 y 5 dimensiones: arXiv: 0705.2778 [hep-th] .

Espero que esto ayude.

Muchas gracias por tu comentario. ¿Qué sucede si una solución de la ecuación del espinor de Killing no satisface la condición de contorno que desea imponer? ¿Significa que la teoría no puede ser supersimétrica? Pero creo que se puede poner el norte = 4 SCFT en S 1 × S 3 en la firma euclidiana. Además, ¿la existencia de una solución depende de la firma de una métrica?
Muchas gracias por sus comentarios adicionales. Sin embargo, las transformaciones G locales solo se permiten en una teoría supersimétrica local, a saber, la supergravedad. En el caso de S 1 × S 3 , la teoría tiene supersimetría rígida. Entonces, uno no puede medir el factor frente a un espinor constante.
Satoshi-san, mi declaración no tiene nada que ver con la supergravedad o las teorías de calibre, es una declaración sobre la geometría del espín. Cuando escribes la ecuación Killing spinor (conforme) como lo has hecho, estás trivializando el paquete spinor y pensando que los campos spinor son funciones con valores en una representación spinor. Podría elegir una trivialización diferente del paquete de spinor: el campo de spinor, como una sección del paquete de spinor, no cambia, pero sí su descripción como una función con valores en la representación de spinor. Esto claramente no hace referencia a ninguna teoría subyacente.
Tal vez el siguiente ejemplo simple ilustre lo que quiero decir. Considere espinores paralelos en un espacio euclidiano plano, digamos en dos dimensiones. Si elige escribirlas en relación con el marco asociado a las coordenadas planas estándar (escriba d s 2 = d X 2 + d y 2 y luego el marco es ( ∂ X , ∂ y ) ) los espinores paralelos son constantes. Sin embargo, si cambia de coordenadas a coordenadas polares d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 y elige el marco de coordenadas correspondiente, entonces el espinor paralelo ya no es constante, sino que está relacionado con uno mediante una transformación de espín local.
(continuación) El objeto geométrico (el espinor paralelo) es el mismo, pero su expresión como función con valores en la representación del espinor es diferente. Básicamente todo se reduce al hecho de que las secciones no son realmente funciones.
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