En la teoría cuántica de campos, especialmente cuando se aplica a la física de alta energía, vemos que los requisitos de invariancia de Lorentz, invariancia de calibre y renormalizabilidad limitan fuertemente los tipos de interacciones que pueden aparecer en el Lagrangiano. Sin embargo, en contextos distintos de la física de alta energía, digamos la física de la materia condensada, o incluso la mecánica cuántica no relativista, tratamos el término de interacción (esencialmente, el potencial en mecánica cuántica) como prácticamente arbitraria. Me gustaría saber cómo se produce este "fenómeno" de ruptura de la simetría, es decir, cómo se puede partir de una teoría fundamental que posee todas estas restricciones sobre los tipos de interacciones que pueden aparecer, y terminar con una libertad virtualmente infinita para el teoría "efectiva" en bajas energías y bajas velocidades. Si hay alguna bibliografía al respecto, se lo agradecería mucho.
Comenzaré con algunos antecedentes y luego intentaré responder a su pregunta.
Como ejemplo, considere la electrodinámica cuántica (QED) en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. La única forma matemáticamente legítima conocida de construir este modelo implica reemplazar el espacio-tiempo continuo (o al menos el espacio) con una red discreta. El uso de un retículo discreto no es estrictamente consistente con la invariancia de Lorentz, pero podemos elegir la escala del retículo para que sea mucho más fina que cualquier escala resoluble experimentalmente. Luego, ajustando los coeficientes en el lagrangiano (o hamiltoniano), las predicciones experimentalmente accesibles del modelo se pueden hacer invariantes de rotación o de Lorentz en la medida en que cualquier experimento práctico pueda decir. Esta no sería una forma satisfactoria de formular una teoría fundamental de todo, pero QED no es una teoría de todo. Su alcance ya es limitado incluso sin el artefacto de una red discreta,
La clave para hacer que esto funcione es ajustar los coeficientes en el Lagrangiano apropiadamente. Si cambiamos la escala de la red (es decir, el espacio entre los sitios vecinos en la red), entonces debemos volver a ajustar los coeficientes para mantener sin cambios las predicciones de baja resolución del modelo. ("Resolución baja" se compara con la escala de celosía). Esto es renormalización. Esto es posible siempre y cuando no hagamos que el espaciado de la red sea demasiado pequeño. Si lo hacemos tambiénpequeño, entonces presumiblemente llegamos a un punto donde los valores requeridos de los coeficientes en el Lagrangiano divergen. Esto es lo que la gente quiere decir cuando dice "QED no existe". Lo que realmente quieren decir es que QED por sí mismo (sin ningún campo adicional) no tiene un límite continuo estricto en el que los electrones y los fotones aún interactúen entre sí. Sin embargo, existe una amplia gama de espacios de celosía que son mucho más finos que la escala resoluble experimentalmente más fina, pero aún más gruesos que la escala de polos de Landau, y cualquier celosía puede usarse para definir QED.
Ahora, voy a empezar a responder a su pregunta. Podríamos reproducir las mismas predicciones de baja resolución usando un Lagrangiano con muchos más términos que los términos "renormalizables" habituales, incluso si usamos solo términos invariantes de calibre que se construyen a partir de los campos habituales de QED. Hay infinitos términos de este tipo, y podemos usarlos para construir infinitos Lagrangianos diferentes cuyas predicciones son indistinguibles entre sí a una resolución suficientemente baja. Esto se llama "universalidad". Entre estas infinitas opciones diferentes, hay una opción que usa solo los términos renormalizables habituales, que son pocos en número como usted señaló. No estamos realmente limitados a usar solo estas interacciones renormalizables en la construcción del modelo,use solo estos términos siempre que los experimentos se limiten a una resolución suficientemente baja en comparación con la escala de celosía.
Ahora, suponga que solo queremos considerar situaciones en las que todos los electrones se mueven mucho más lentamente que la velocidad de la luz. (Estoy pensando en la versión más simple de QED aquí, en la que el campo de electrones y el campo electromagnético son los dos únicos campos). En otras palabras, solo queremos considerar situaciones en las que todos los electrones tienen energías mucho más bajas que la masa. de un electrón. Podríamos usar la versión simétrica de Lorentz de QED para abordar estas situaciones, pero también tenemos la opción de usar un modelo diferente que tenga incorporada la aproximación no relativista. Podemos llamar a este modelo QED no relativista (NRQED). O, si no necesitamos considerar los efectos electromagnéticos dinámicos como los fotones, incluso podemos usar la mecánica cuántica no relativista. En cualquier caso, podemos esperar algo como "universalidad"siempre que consideremos solo predicciones que involucren energías que sean lo suficientemente bajas en comparación con la masa del electrón , que es la escala que estamos usando para definir la aproximación "no relativista". Como en el caso relativista, donde el espacio de la red artificial era la escala de referencia, hay un número infinito de modelos no relativistas diferentes que hacen las mismas predicciones con una energía suficientemente baja en comparación con la masa del electrón. Entre estos modelos, podemos elegir el que utiliza menos términos y más simple, tal como lo hacemos normalmente en QED relativista.
Un comentario similar se aplica con respecto a la física de la materia condensada. En este caso, solo a veces estamos haciendo experimentos cerca de un "punto crítico", en el que la longitud de correlación se vuelve mucho más larga que el espacio entre la red de átomos o moléculas que componen el material. Esto ocurre, por ejemplo, cerca de la transición de fase entre las fases magnetizada y no magnetizada de un material ferromagnético. En esas circunstancias, de hecho podemos arreglárnoslas con un modelo construido a partir de unos pocos términos relativamente simples, y estos términos nuevamente se denominan renormalizables. Esto es análogo a la situación en QED relativista, excepto que (1) los modelos se construyen utilizando diferentes campos y con diferentes requisitos de simetría, y (2) en el caso de QED relativista, siempre estamosrestringida a escalas mucho más gruesas que la escala reticular (artificial), pero no estamos restringidos a escalas mucho más gruesas que la escala atómica (que es el análogo de la escala reticular de la materia condensada) o a energías muy por debajo de la masa del electrón (que serían QM no relativistas). análogo de la escala de celosía en la presente analogía).
En resumen, en lo que respecta a su pregunta, la principal diferencia entre la QED relativista y la mecánica cuántica no relativista es que en la QED relativista siempre estamos trabajando a escalas muy por debajo de la escala de celosía artificial en la que se define el modelo, por lo que siempre podemos salir adelante . con solo unos pocos términos relativamente simples en la construcción del modelo, a saber, los términos "renormalizables". Pero en aplicaciones no relativistas, solo a veces estamos trabajando con energías lo suficientemente por debajo de la masa del electrón para funcionar con solo unos pocos términos relativamente simples en la construcción del modelo.
Aquí hay algunas referencias que abordan estos puntos con más detalle:
Este artículo no introductorio estudia un modelo que es más fácil que QED pero que sigue siendo lorentz-simétrico a una resolución suficientemente baja: Polchinski (1984), "Renormalization and efectiva Lagrangians," Nuclear Physics B 231 : 269-295, http : // max2.physics.sunysb.edu/~rastelli/2016/Polchinski.pdf , consultado el 14-10-2018.
Este artículo introductorio estudia la misma idea en un contexto de materia condensada: Polchinski (1992), "Teoría del campo efectivo y la superficie de Fermi", https://arxiv.org/abs/hep-th/9210046 .
Este artículo pedagógico explica cómo funciona la misma idea en NRQED: Lepage (1989), "¿Qué es la renormalización?" Boulder ASI, páginas 483-508, https://arxiv.org/abs/hep-ph/0506330 .
¡Espero que esto ayude!
Algún tiempo después de publicar mi respuesta aquí, me encontré con esta publicación: ¿QED realmente se descompone en el poste de Landau? Esa publicación tiene una discusión interesante sobre lo que sale mal cuando tratamos de tomar un límite continuo estricto en QED.
ana v