Ruptura espontánea de simetría en mecánica clásica, mecánica cuántica y teoría cuántica de campos

La tercera pregunta Q3 es básicamente el tema de un trabajo muy reciente de NP Landsman.

En la teoría cuántica, la ruptura espontánea de la simetría requiere que el sistema sea de dimensión infinita. Cuando el número de grados de libertad es finito, no se produce una ruptura espontánea de la simetría. Considere, por ejemplo, una partícula en una dimensión que se mueve en el potencial de un pozo doble, la tunelización tiene lugar entre los dos estados degenerados, correspondientes a los mínimos del potencial, lo que da como resultado un estado fundamental de superposición lineal único. En el número infinito de grados de libertad límite. Las probabilidades de transición entre los estados degenerados se desvanecen, dividiendo así el espacio de Hilbert en sectores mutuamente inaccesibles construidos sobre cada estado fundamental.

Es bien sabido que en los sistemas clásicos con un número finito de grados de libertad es posible la ruptura espontánea de la simetría, como también se enfatiza en la siguiente revisión de Narnhofer y Thirring. Dado que un estado (puro) en un sistema clásico es un punto en el espacio de fase (un estado mixto es una distribución de probabilidad sobre el espacio de fase); entonces la ruptura de simetría espontánea clásica significa que existen condiciones iniciales que conducen a soluciones invariantes en el tiempo que no son invariantes bajo el grupo de simetría. Por ejemplo, en el pozo doble, colocar la partícula en un pozo sin suficiente energía para salir describe un estado de ruptura espontánea.

Hay muchos otros ejemplos de sistemas clásicos finitos que exhiben ruptura de simetría espontánea, el más conocido es, quizás, el pandeo de las barras , otro ejemplo es el sistema Bead, Hoop y Spring .

Ahora, como enfatiza Landsman, Large$N$Los sistemas cuánticos son análogos a los sistemas clásicos en el sentido de que las correlaciones cuánticas se desvanecen como$\frac{1}{N}$, lo que lleva a la pregunta planteada de que para un finito$N$por grande que sea, no se permite la ruptura espontánea de la simetría mientras que en el límite termodinámico el sistema se vuelve infinito y se permite la ruptura espontánea de la simetría. La misma pregunta se puede hacer$\hbar \rightarrow 0$.

La explicación de Landsman es que cuando N se vuelve muy grande, el sistema se vuelve exponencialmente inestable a una perturbación de ruptura de simetría que lleva al sistema a uno de los estados degenerados que ya son muy grandes pero finitos.$N$. Landsman realiza el análisis por medio de la mecánica cuántica algebraica y una comprensión completa del artículo requiere familiarizarse con su trabajo anterior.

Creo que estás ejecutando juntos dos tipos diferentes de "ruptura de simetría". La noción usual de ruptura de simetría espontánea en la materia condensada ocurre en el límite termodinámico. Esto sucede tanto en el sistema clásico como en el cuántico. En este escenario, los diferentes estados fundamentales se separan infinitamente entre sí. Entonces, en un modelo con giros en una red, cuántica o clásica, si los giros se alinean, se necesitaría una cantidad infinita de energía para alinearlos en una dirección diferente por fluctuaciones locales.

Con frecuencia se entiende que la ruptura espontánea de la simetría solo puede ocurrir en el límite termodinámico. Por ejemplo, la función de partición debe ser analítica en un número finito de partículas y, por lo tanto, no puede haber una transición de fase y, por lo tanto, no SSB. (Admito libremente que no entiendo por qué los hechos sobre el límite de tamaño infinito se aplican tan bien a sistemas físicos grandes pero finitos en el caso cuántico).

Lo que ha enumerado como los dos primeros casos es una distinción entre sistemas finitos clásicos y cuánticos, a saber. el sistema clásico puede tener estados fundamentales de ruptura de simetría, mientras que un sistema cuántico finito no puede. Esto es cualitativamente diferente del SSB habitual. No es espontáneo .

Tome su potencial similar al de Higgs con la partícula clásica comenzando en la parte superior. Si no hace nada, se sienta en la parte superior, se mantiene la simetría. Si lo toca una vez, avanzará y retrocederá entre los dos mínimos, por conservación de energía, por lo que la simetría se mantiene en promedio. Si intenta disipar la energía acoplando su partícula al ruido, pasará mucho tiempo en el fondo de uno de los mínimos. Pero hay una probabilidad finita de que el ruido fluctúe y patee su partícula hacia el otro pozo. Entonces, nuevamente, si miras lo suficiente, la simetría se mantiene en promedio. Necesita la barrera de potencial infinito para tener una ruptura de simetría espontánea real.

En el caso del potencial de pozo doble simétrico (el hamiltoniano está incluso por debajo de la paridad), la tunelización ocurre entre dos estados localizados en los dos mínimos siempre que la barrera sea finita. Esos dos estados son la superposición del suelo y los primeros estados excitados del hamiltoniano, por lo que no son estados propios del hamiltoniano. Si ajustamos la altura de la barrera como un parámetro hacia el infinito, la diferencia de energía entre el suelo y el primer estado excitado disminuye y, a una altura infinita, desaparece formando así un estado fundamental degenerado, uno de los cuales es antisimétrico bajo paridad (aunque el hamiltoniano es simétrico bajo paridad). Esta es la ruptura espontánea de la simetría.

Para observar una transición de fase tenemos que alcanzar este estado fundamental roto de simetría a partir del estado fundamental inicial, es decir, tenemos que ir más allá de esta condición sin intervalos (degenerada) a un intervalo negativo. A medida que aumentamos la altura de la barrera y conducimos el sistema hacia la transición de fase, el procedimiento se detiene al llegar al punto crítico. Desafortunadamente, no hay forma de ir más allá de este punto y observar la transición de fase en este sistema.