¿Una definición alternativa de los operadores de creación y aniquilación?

Supongamos que tenemos un sistema de bosones representados por sus números de ocupación

(1) | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α , . . . ⟩
Entonces podemos definir operadores de creación y aniquilación
(2) a α † | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α , . . . ⟩ = norte α + 1 | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α + 1 , . . . ⟩
(3) a α | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α , . . . ⟩ = norte α | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α − 1 , . . . ⟩
Esto es bueno porque el operador numérico es simplemente a α † a α . Sin embargo, ¿sería sensato definir un conjunto alternativo de operadores para trabajar?
(4) b α | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α , . . . ⟩ = | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α + 1 , . . . ⟩
(5) C α | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α , . . . ⟩ = { | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α − 1 , . . . ⟩ norte α > 0 0 norte α = 0
(6) norte α | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α , . . . ⟩ = norte α | norte 1 , norte 2 , . . . , norte α , . . . ⟩
¿Por qué no trabajamos con estos operadores? Los operadores bosónicos de creación y aniquilación a α † y a α se definieron para imitar los operadores de subida y bajada del oscilador armónico ( X ± i pag ), pero ¿existe alguna razón de peso para mantener la norte α + 1 y norte α factores?

Supongo a α † y a α obedecen buenas propiedades tales como [ a α , a α † ] = 1 y el hecho de que son adjuntos hermitianos entre sí. ¿Cuáles son las relaciones análogas que b α y C α obedecería?

Para ver otra versión de estas ideas, consulte physics.stackexchange.com/a/90078/26076 donde muestro que su (2) y (3) surgen naturalmente de la idea de encontrar el sistema cuántico más general cuyas estadísticas de medición varían sinusoidalmente con el tiempo. .

Respuestas (2)

Aquí hay tres propiedades que harían que sus definiciones fueran incómodas.

Tu puedes pensar en a † a como la descomposición LU (triangular inferior, triangular superior o de Cholesky) del número observable. En realidad, no es la única factorización de Cholesky, sino la que encuentra la versión del algoritmo del producto externo. Su definición no tendría esta propiedad.

Como resultado, el corchete de mentira entre sus dos b , C los operadores serían un poco desagradables. En coordenadas propias de energía ( es decir , de modo que el estado de un oscilador armónico cuántico esté dado por un vector de columna infinita de amplitudes de probabilidad de estar en cada uno de los estados numéricos) sería:

[ b , C ] = d i a gramo [ 1 , 0 , 0 , ⋯ ]

y el hamiltoniano sería más complicado:

H ^ = ℏ ω ( C b norte + 1 2 ) = ℏ ω ( norte C b + 1 2 )

y no hay una forma sencilla de escribir el hamiltoniano en términos de b C = d i a gramo [ 0 , 1 , 1 , 1 , ⋯ ] .

Todo esto haría que el operador de reescritura y las expresiones observables en el orden normal fueran muy incómodos.

Por último, hay una forma bastante elegante de escribir un estado coherente general del oscilador armónico cuántico, a través del llamado operador de desplazamiento :

| α ⟩ = Exp ⁡ ( α a † − α ∗ a ) | 0 ⟩

que cambia el estado fundamental cuántico a uno coherente con amplitud ( es decir, desplazamiento desde el origen en X − pag espacio de fase) α . Esta fórmula altamente útil sería mucho más incómoda en su notación.

Una excelente respuesta, pero ¿por qué nos importa tener una descomposición LU de norte ? Es diagonal en la representación del número de ocupación de todos modos. Y [ b , C ] = − | 0 ⟩ ⟨ 0 | es solo un operador de proyección en el estado fundamental, por lo que no es tan desagradable. Además, creo que el hamiltoniano sería simplemente H = ℏ ω ( norte + 1 / 2 ) (no necesitamos el C b cosa en él), que no es nada complicado.
Sin embargo, tienes toda la razón en eso. a y a † son fundamentales para la construcción y la teoría de un estado coherente, lo que sería incómodo con b y C .
@ChickenGod Las consecuencias de la descomposición de LU son muy útiles para pedidos normales. Claro, el corchete de mentira es el operador de proyección como usted dice, pero esto hace que las fórmulas de pedido normales sean un poco incómodas. Intenta reordenar algo como a norte a † metro : puedes hacerlo, pero seguro que hace la vida mucho más fácil si puedes intercambiar las cosas restándolas de la identidad (como cuando [ a , a † ] = 1 ). El operador de desplazamiento puede o no serle útil: en óptica cuántica no se puede prescindir de él. Por supuesto, nada de esto está grabado en piedra: las notaciones nunca lo están: ....
@ChickenGod ... pero estas son algunas de las razones por las que puedo pensar por qué la notación actual es útil. La fórmula hamiltoniana también: a menudo puede simplemente usar el operador numérico r como lo hace, pero también hay momentos en los que la descomposición es útil.
Ah, sí, me olvidé de los pedidos normales. En ese caso, puedo ver por qué a a † = 1 + a † a es superior a b C = 1 − | 0 ⟩ ⟨ 0 | .

El problema es que los estados físicos tienen números de ocupación positivos. norte 1 , norte 2 , . . . .

Con sus operadores, tiene, por ejemplo:

C α | norte 1 , norte 2 , . . . , 0 , . . . ⟩ = | norte 1 , norte 2 , . . . , − 1 , . . . ⟩ .

Esto le da un estado totalmente no físico, por lo que tendría que agregar restricciones manuales como norte 1 ≥ 0 , norte 2 ≥ 0 , . . . , .

Con los operadores a α , no tienes este problema, la inexistencia de estados con números de ocupación negativos es completamente natural, por el término norte α

+1 Punto más excelente. En realidad, estaba "agregando las restricciones a mano" en mi propia respuesta sin siquiera darme cuenta de que lo estaba haciendo. De hecho, acabo de darme cuenta de que siempre lo he estado haciendo inconscientemente con problemas de este tipo: me avergüenza decir que nunca me había dado cuenta de lo que dices antes: el norte cierra la "reducción" del operador de aniquilación automáticamente en norte = 0 .
Bien. De hecho, quería agregar la restricción adicional de que C α actuando sobre un norte α = 0 estado da 0 , pero olvidé escribir eso. ¡Gracias!
¿Una definición alternativa de los operadores de creación y aniquilación?
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