Quiero calcular el campo eléctrico de una esfera sólida cargada sin usar la ley de Gauss

Question

Quiero calcular el campo eléctrico de una esfera sólida cargada sin usar la ley de Gauss

física

Puedo encontrar el campo eléctrico de una esfera sólida cargada utilizando la ley de Gauss, pero me cuesta calcularlo a partir de la ley de Coulomb (he visto ejemplos de cómo calcular el campo electrónico utilizando la ley de Coulomb para un disco, un anillo, una línea, etc., pero no una esfera sólida).

Si alguien pudiera ayudarme estaría muy agradecido!

una mente curiosa

La ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes, es decir, una puede derivarse de la otra. Por lo tanto, no entiendo qué significa calcular algo con el uso de la ley de Coulomb pero no de la ley de Gauss.

Sánya

@ACuriousMind, ¿quizás resolver la ecuación de Poisson calificaría?

brillar

Creo que puedes sumar discos a una esfera. Personalmente, a menos que no esté familiarizado con la forma de calcular cosas con la ley de Coulomb, no veo ninguna razón para molestarse con eso: ahora tenemos matemáticas.

Respuestas (3)

Quiero calcular el campo eléctrico de una esfera sólida cargada sin usar la ley de Gauss

La ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes, es decir, una puede derivarse de la otra. Por lo tanto, no entiendo qué significa calcular algo con el uso de la ley de Coulomb pero no de la ley de Gauss.
@ACuriousMind, ¿quizás resolver la ecuación de Poisson calificaría?
Creo que puedes sumar discos a una esfera. Personalmente, a menos que no esté familiarizado con la forma de calcular cosas con la ley de Coulomb, no veo ninguna razón para molestarse con eso: ahora tenemos matemáticas.

física · Answer 1

Siguiendo con la respuesta de Arturo (gracias), creo que he descubierto cómo resolver la integración sobre la esfera para encontrar el campo eléctrico en un punto usando coordenadas esféricas y vectores.

arturo don juan · Answer 2

Primero déjame aclarar algo. Creo que lo que quiere decir con "ley de Coulomb" es la solución a la ecuación de Poisson electrostática con la suposición (condición límite) de que desaparece en el infinito espacial:

V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'})}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'}

$V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d^3\mathbf{r}'$

Puedes obtener el campo eléctrico tomando el gradiente negativo de este.

\to mi (r) = - \nabla V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}) r^{'}}{| r - r^{'} |^{3}} d^{3} r^{'}

$\rightarrow\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}d^3\mathbf{r}'$

Cuando la única carga que tiene es una carga puntual que se encuentra en el origen ( $\rho(\mathbf{r'})=Q\delta^3(\mathbf{r}')$ , dónde $\delta^3(\mathbf{r})$ es la función tridimensional de Dirac-delta), entonces se obtiene la ley de Coulomb regular.

mi (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q r}{| r |^{3}}

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}$

Ahora, para su problema, basta con usar la ley de Gauss. La ley de Gauss dice

\iint mi \cdot d A = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0}}

$\iint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$

Como sabe que el problema es esféricamente simétrico, el campo eléctrico no solo puede apuntar radialmente hacia afuera (pruébelo usted mismo), sino que también es esféricamente simétrico (pruébelo también). Entonces, la ley de Gauss se reduce a

mi (r) \cdot (4 π r^{2}) = \frac{q_{mi norte C}}{ϵ_{0}}, dónde mi (r) = mi (r) \hat{r}

$E(r)\cdot(4\pi r^2)=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0},~~~\textrm{where}~~~ \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\hat{r}$

Para resolver el campo eléctrico, debe calcular la carga encerrada dentro de su "superficie gaussiana", y para eso debe conocer la distribución de carga dentro de la esfera.

q_{mi norte C} (r) = \int_{0}^{r} ρ (r^{'}) (4 π r^{2}) d r

$Q_{enc}(r)=\int_0^r \rho(r')(4\pi r^2) dr$

Por ejemplo, si la esfera sólida de radio $R$ y carga $Q$ tiene una densidad de carga uniforme, entonces la cantidad total de carga dentro de la superficie gaussiana esférica con radio $r<R$ escalas con el cubo del radio - es decir $Q_{enc}=Q(r^3/R^3)$ . En ese caso,

mi (r) = \frac{q r}{4 π ϵ_{0} R^{3}}, r < R

$E(r)=\frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3},~~~r<R$

Para una superficie gaussiana esférica con radio $r>R$ , todo el cargo $Q$ está dentro, así que simplemente obtenemos

mi (r) = \frac{q}{4 π ϵ_{0} r^{2}}, r \geq R

$E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}, ~~~r\geq R$

Sanjay K Bahety · Answer 3

Sanjay K Bahety

Campo eléctrico por esfera sólida uniformemente cargada usando la Ley de Coulomb y no la Ley de Gauss

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299792458

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