Campo eléctrico debido a carga lineal infinita: ¿Límites de integración?

mi → = ρ o 4 π ϵ ∫ − ∞ + ∞ d z ′ ( ρ a ρ → + ( z − z ′ ) a z → ( ρ 2 + ( z − z ′ ) 2 ) 3

Estoy confundido acerca de cuáles serían los límites de integración al calcular el campo eléctrico de una carga de línea infinita. Cuando trato de integrarlo no puedo encontrar mi → = ρ o 2 π ϵ ρ a ρ →

Editar: al usar una integral indefinida obtuve la respuesta:

mi → = ρ o 4 π ϵ ( − ( z − z ′ ) ρ ρ 2 + ( z − z ′ ) 2 a ρ → + 1 ρ 2 + ( z − z ′ ) 2 a z → )

Cuando entro − ∞ y + ∞ el a z → es igual a 0 . El a ρ → el componente es

mi → = ρ o 4 π ϵ ρ ( − ( z − ( ∞ ) ) ρ 2 + ( z − ( ∞ ) ) 2 a ρ − − ( z − ( ∞ ) ) ρ 2 + ( z − ( ∞ ) ) 2 a ρ → ) →

No sé cómo hacer para simplificar la expresión anterior.

Debe mostrar su procedimiento de integración; de lo contrario, su pregunta quedará en espera (pregunta de tipo de tarea).
@BhavyaSharma El simple hecho de mostrar su procedimiento no garantiza que la pregunta no se considere como tarea. De hecho, esto parece ser una simple solicitud para completar una integral.
Sugerencia: primero use las simetrías de la distribución de carga para mostrar que el campo eléctrico es radial en cualquier punto. El campo eléctrico está a lo largo a → ρ , en contraste con lo que escribiste!
¿Por qué necesitas usar esa fea integral? El teorema de Gauss sería suficiente.
Lo hice con la ley de Gauss, solo tenía curiosidad sobre cómo se haría con la ley de Coulomb.

Respuestas (1)

Cuando haga estas preguntas, debe definir los símbolos que utiliza. Eso lo aclarará a la gente que lo lea. Me tomó unos momentos darme cuenta de que estás usando ρ para el radio alejándose de la línea.

Independientemente, no puede tomar límites infinitos simplemente sustituyendo ∞ en tu expresión. Así no es como funcionan los límites. En este caso, desea escribir

− ( z − z ′ ) ρ ρ + ( z − z ′ ) 2 = 1 − ( z z ′ ) ρ ρ 2 z ′ 2 + ( z z ′ − 1 ) 2
que se obtiene dividiendo arriba y abajo por z ′ . Ahora puedes pensar en lo que sucede como z ′ se vuelve grande y positivo. La expresión tenderá a 1 ρ .

Cuando estamos mirando lo que sucede como z ′ tiende a infinito negativo, tenemos que ser más cuidadosos. Desde z ′ es negativo, no podemos simplemente ponerlo en nuestra raíz cuadrada como hicimos en la expresión anterior. En su lugar, ponemos − z ′ en la raíz cuadrada y mantenemos un negativo al frente, es decir, trabajamos con

− ( z − z ′ ) ρ ρ + ( z − z ′ ) 2 = − 1 − ( z z ′ ) ρ ρ 2 z ′ 2 + ( z z ′ − 1 ) 2
y esto tiende a − 1 ρ como z ′ → − ∞ .

Ahora, si metemos esto en la integral, tenemos

mi → = ρ 0 4 π ε 0 ( 1 ρ − ( − 1 ρ ) ) = ρ 0 2 π ε 0 ρ
en la dirección a pag → .

Moraleja: ¡maneja los límites correctamente!

Campo eléctrico debido a carga lineal infinita: ¿Límites de integración?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v