Fuerza de atracción entre placas de capacitor

El campo E debido a cada placa es$E/2$y por lo tanto el campo total entre la placa es$E$. Pero una placa no ejercerá fuerza sobre sí misma, por lo que el campo E experimentado por una placa es$E/2$solo. Multiplicar por la carga te da la fuerza, por lo tanto$1/2 QE$.

Las respuestas existentes te dicen por qué.$F= \frac{1}{2} QE$tiene razón, pero creo que es importante decir por qué$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q^2}{d^2}$Está Mal.

La ley de Coulomb no se aplica fácilmente aquí porque las placas no son cargas puntuales. En particular, sus tamaños no son despreciables (de hecho, mucho más grandes) que la distancia entre ellos.

Todavía sería válido aplicar la ley de Coulomb por portador de carga y tomar la suma vectorial:

$\int_{x_1=0}^w\int_{y_1=0}^l\int_{x_2=0}^w\int_{y_2=0}^l{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma(x_1,y_1)\sigma(x_2,y_2)}{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+d^2}\frac{d}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+d^2}}dx_1dy_1dx_2dy_2} \approx$

$\int_{x_1=0}^w\int_{y_1=0}^l\int_{x_2=-\infty}^{\infty}\int_{y_2=-\infty}^\infty{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{Q}{S})^2 d \frac{1}{{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+d^2}}^3}dx_1dy_1dx_2dy_2} =$

$S \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{Q}{S})^2 d \int_{x=-\infty}^{\infty}\int_{y=-\infty}^\infty{ \frac{1}{{\sqrt{x^2+y^2+d^2}}^3}dx dy} =$

$S \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{Q}{S})^2 d \frac{2 \pi}{d} = \frac{1}{2} Q \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{1}{2} Q E$

dónde$S = w l$son el área, ancho y largo de los platos (rectangulares) y$\sigma(x,y)$es la densidad de carga para un punto dado en un plato.

El "$\approx$" anterior se basa en dos suposiciones:

• La carga se distribuye uniformemente en los platos:$\sigma(x,y) = \frac{Q}{S}$
• $w$y$l$son lo suficientemente grandes en comparación con$d$que la contribución de las partes lejanas del plato a la fuerza se vuelve insignificante. Esto nos permite integrar desde$-\infty$a$+\infty$.

La energía del capacitor es$U= \frac{\epsilon_0}{2} S\,\mathrm d E^2$dónde$S$es el área de una placa. Si aumentamos de$\Delta d$la distancia de, digamos, la placa derecha de la izquierda, manteniendo fija la carga$Q$en cada plato,$E$no cambia y encontramos una variación de energía

Se esperaría que la fuerza no dependiera de si el capacitor estaba o no conectado a una fuente de voltaje constante$V$.

Si el condensador$C = \dfrac {\epsilon_o A}{d}$está conectado a una fuente de voltaje constante, la energía almacenada en el capacitor es$U = \frac 1 2 CV^2 = \dfrac 1 2 \dfrac{\epsilon_o A}{d}V^2$.

La energía almacenada en el capacitor cambia por$\Delta U$si la separación de las placas$d$aumenta en una cantidad$\Delta d$.

$\Delta U = - \dfrac 1 2 \left( \dfrac {\epsilon_o A}{d}\right)V \dfrac V d \Delta d = - \dfrac 1 2 Q E \Delta d$

Una disminución en la energía almacenada se debe a que la capacitancia ha disminuido a voltaje constante.

$Q=CV= \dfrac {\epsilon_o A}{d} V\Rightarrow \Delta Q = - \dfrac {\epsilon A}{d^2} V \Delta d$

Por lo tanto, la carga en el condensador disminuye y por el cambio$\Delta Q$para fluir a través de la fuente de voltaje, la cantidad de trabajo que se debe realizar es$\Delta Q V$

$\Delta Q V = \left( \dfrac {\epsilon_o A}{d}\right)V \dfrac V d \Delta d = Q E \Delta d$

La cantidad neta de trabajo realizado por la fuerza externa$F$es$F \Delta d$y esta es la magnitud de la fuerza de atracción entre las placas.

$F\Delta x = Q E \Delta d - \dfrac 1 2 Q E \Delta d \Rightarrow F = \frac 1 2 QE$

Tenga en cuenta que en el caso de voltaje constante hay una disminución en la energía almacenada en el capacitor, pero al mismo tiempo se debe realizar trabajo para mover la carga a través de la fuente de voltaje constante.

En el caso de carga constante, aumentar la separación de las placas aumenta la diferencia de potencial entre las placas, por lo que se almacena más energía en el capacitor y se debe realizar trabajo para lograrlo.
Para el caso de cambio constante$Q=CV = \dfrac {\epsilon_o A}{d}V$entonces en la derivación el campo eléctrico$E$es constante