Divergencia cero del campo eléctrico

Estoy tratando de derivar rigurosamente la forma integral de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb y el teorema de la divergencia. Llegar a

∮ ∂ V mi ⋅ d a = { q ϵ o si  ∂ V  encierra  q   0 si  ∂ V  no encierra  q  
usando mi = q r ^ 4 π ϵ o r 2 y ∮ ∂ V mi ⋅ d a = ∫ V ∇ ⋅ mi   d τ

Intento de prueba: Para el caso de superficie cerrada ∂ V no incluye ningún cargo, estoy tratando de demostrar que ∫ V ∇ ⋅ mi d τ es 0 y luego usa el teorema de la divergencia para completar la demostración de este caso. Usó el hecho de que ∇ ⋅ mi es 0 en todas partes excepto en r = 0 , ya que tengo 1 r 2 campo radial, pero ¿cómo lo demuestro? ∇ ⋅ mi es 0 en todo el volumen V ?

Sé que esto es muy básico, pero por favor señale qué es lo que me falta.

EDITO: Ahora entiendo que ∇ ⋅ mi es 0 como V no contiene r = 0 (la ubicación de la carga). Pero, ¿por qué resulta así, a pesar de que las líneas de campo parecen "divergir" en cada punto? Estoy buscando algún tipo de interpretación para esto. ¿Es porque "si tomamos una región lo suficientemente pequeña dentro de la cual mi es casi constante, ∇ ⋅ mi es 0".

¿Por qué no sería cero si V no tiene el origen como elemento?
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/38404/2451 y enlaces allí.
@Mateus Sampaio. Gracias, agregué otra pregunta en la EDICIÓN.
El nombre "divergencia" del operador diferencial ∇ ⋅ no debe tomarse al literal. Puede darse el caso de que las líneas "diverjan" en algún sentido pero la divergencia del campo es nula, como es el caso.
Lo siento, todavía no estoy convencido, pero ¿por qué sucede especialmente para 1 r 2 campo radial y no cualquier otro poder? ¿Cuál es el significado detrás de esto? @qmecanico
Porque en coordenadas esféricas, la divergencia de un campo radial viene dada por 1 r 2 ∂ r ( r 2 mi ) . Tomemos como ejemplo un campo mi = ( X , 0 , 0 ) . Aunque las líneas no divergen, la divergencia no es nula.

Respuestas (1)

∮ mi ⋅ d S = 1 ϵ ∫ V ρ d V = ∫ V ∇ ⋅ mi   d V

si 1 ϵ ∫ V ρ d V = ∫ V ∇ ⋅ mi   d V entonces ρ ϵ = ∇ ⋅ mi

si ρ = 0 entonces ρ ϵ = 0 = ∇ ⋅ mi

¿Es esto lo que estás buscando?

ρ sería cero, digamos, fuera de una carga puntual.

Una de las paradojas que encontrará al considerar una carga puntual es que la divergencia es cero para el campo creado por una carga puntual, excepto en el origen, en cuyo caso no está definido. Esta paradoja se resuelve usando la función dirac delta como en este excelente sitio web que recomiendo. http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node30.html

Por si no lo sabías el teorema de la divergencia surge de sumar el flujo en cubos infinitesimalmente pequeños que constituyen una superficie cerrada. Los únicos flujos que "sobreviven" son los exteriores. Si ∇ ⋅ mi = 0 entonces esto significa que el flujo en un cubo infinitesimalmente pequeño es cero. Lo que significa que si las líneas de campo fueran un fluido real, entonces la densidad de ese pequeño cubo no cambiaría. (Porque la misma agua que entra sale).

Agregaré una respuesta a su segunda parte en breve.
Lo he agregado ahora.
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