Encuentra el campo de dos franjas infinitas de ancho bbb [cerrado]

P: Las dos tiras cargadas en la siguiente imagen tienen ancho$b$, altura infinita y grosor despreciable (en la dirección perpendicular a la página). Sus densidades por unidad de área son$\sigma$y$-\sigma$.

a) Encuentre la magnitud del campo producido por una de las tiras desde la distancia$a$lejos de él (en el plano de la página).

b) Demuestre que la fuerza (por unidad de altura) entre las dos tiras es igual a$\frac{\sigma^2 b \ln(2)}{\pi \epsilon_0}$. Tenga en cuenta que este resultado es finito, incluso si el campo en el límite de la tira diverge.

*Parte a resuelto en las siguientes líneas:

** Luchando con la parte b

Intento de solución:

Parte a resuelta en las siguientes líneas:

Como muestra la figura, calculo el campo a distancia.$a$de la primera cinta:

$$\begin{aligned}E_x&=\int\int \frac{k dq}{r^2}\cos{\theta} \\ &=k\int\int \frac{\sigma da}{r^2}\cos{\theta} \end{aligned}$$

De la geometría de la figura obtenemos:

$$\begin{aligned}E_x&=k\sigma\int_{-\infty}^{\infty}\int_0^b \frac{ dx dy}{(a+x)^2+y^2}\cdot\frac{a+x}{\sqrt{(a+x)^2+y^2}} \\ &=k\sigma\int_{-\infty}^{\infty}\Big(\int_0^b \frac{ (a+x)dx }{\Big((a+x)^2+y^2\Big)^{3/2}}\Big)dy\end{aligned}$$

Si$u= (a+x)^2+y^2=(a^2+2ax+x^2+y^2)$, de este modo$du=(2a+2x)dx \Rightarrow du/2=(a+x)dx$

$$\begin{aligned}E_x&=k\sigma\int_{-\infty}^{\infty}\Big( \int_{c'}^{d'} \frac{du}{2u^{3/2}} \Big)dy=\frac{k\sigma}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\Big( \Big[ \frac{-2}{u^{1/2}}\Big]_{c'}^{d'} \Big)dy \\ &=-k\sigma \int_{-\infty}^{\infty}\Big( \Big[(a+x)^2+y^2)^{-1/2} \Big]_{0}^{b} \Big)dy \\ &=-k\sigma \int_{-\infty}^{\infty}\Big( (a+b)^2+y^2)^{-1/2} -(a^2+y^2)^{-1/2} \Big)dy \\ &=-k\sigma \int_{-\infty}^{\infty}\Big( \frac{1}{\sqrt{(a+b)^2+y^2}} - \frac{1}{\sqrt{a^2+y^2}} \Big)dy \end{aligned}$$

Podemos encontrar una antiderivada para la expresión anterior:

$$\begin{aligned}E_x&=-k\sigma \Big[ \ln(\sqrt{(a+b)^2+y^2}+y)-\ln(\sqrt{a^2+y^2}+y)\Big]_{-\infty}^{\infty}\\ &=-k\sigma \lim_{d \rightarrow \infty} \Big[ \ln\Big(\frac{\sqrt{(a+b)^2+y^2}+y}{\sqrt{a^2+y^2}+y}\Big) \Big]_{-d}^{d} \\ &=-k\sigma \lim_{d \rightarrow \infty} \Big[ \ln\Big(\frac{\sqrt{(a+b)^2+d^2}+d}{\sqrt{a^2+d^2}+d}\Big) - \ln\Big(\frac{\sqrt{(a+b)^2+d^2}-d}{\sqrt{a^2+d^2}-d}\Big)\Big] \end{aligned}$$

Puede verse fácilmente que el primer límite tiende a$0$y el segundo según Wolfram tiende a$\ln(\frac{(a+b)^2}{a^2})$algo que es bastante conveniente.

Así que la intensidad del campo de la$\sigma$cinta es igual a:

$$E_{\sigma}=-k\sigma \ln \Big(\frac{(a+b)^2}{a^2}\Big)$$

Este resultado parece correcto porque el campo diverge en$0$y en$b$.

Usando un enfoque similar, podemos calcular el otro campo de placas cambiando los límites de integración de$x$de$b$a$2b$

$$\begin{aligned}E_x&=k\sigma\int_{-\infty}^{\infty}\Big(\int_b^{2b} \frac{ (a+x)dx }{\Big((a+x)^2+y^2\Big)^{3/2}}\Big)dy \\ &=-k\sigma \int_{-\infty}^{\infty}\Big( \Big[(a+x)^2+y^2)^{-1/2} \Big]_b^{2b} \Big)dy \\ &=-k\sigma \int_{-\infty}^{\infty}\Big( (a+2b)^2+y^2)^{-1/2} -((a+b)^2+y^2)^{-1/2} \Big)dy \\ &=-k\sigma \int_{-\infty}^{\infty}\Big( \frac{1}{\sqrt{(a+2b)^2+y^2}} - \frac{1}{\sqrt{(a+b)^2+y^2}} \Big)dy \end{aligned}$$

Podemos encontrar una antiderivada para la expresión anterior:

$$\begin{aligned}E_x&=-k\sigma \Big[ \ln(\sqrt{(a+2b)^2+y^2}+y)-\ln(\sqrt{(a+b)^2+y^2}+y)\Big]_{-\infty}^{\infty}\\ &=-k\sigma \lim_{d \rightarrow \infty} \Big[ \ln\Big(\frac{\sqrt{(a+2b)^2+y^2}+y}{\sqrt{(a+b)^2+y^2}+y}\Big) \Big]_{-d}^{d} \\ &=-k\sigma \lim_{d \rightarrow \infty} \Big[ \ln\Big(\frac{\sqrt{(a+2b)^2+d^2}+d}{\sqrt{(a+b)^2+d^2}+d}\Big) - \ln\Big(\frac{\sqrt{(a+2b)^2+d^2}-d}{\sqrt{(a+b)^2+d^2}-d}\Big)\Big] \end{aligned}$$

Una vez más, el primer límite puede verse fácilmente como algo que tiende a$0$y el segundo según Wolfram tiende a$\ln(\frac{(a+2b)^2}{(a+b)^2})$algo que de nuevo es bastante conveniente.

Así que la intensidad del campo de la$-\sigma$cinta es igual a:

$$E_{-\sigma}=k\sigma \ln \Big(\frac{(a+2b)^2}{(a+b)^2}\Big)$$

Este resultado parece correcto porque el campo diverge en$b$y en$2$

Ahora si sumo los dos campos:

$$E_T=E_{-\sigma}+E_{-\sigma}=-k\sigma \ln \Big(\frac{(a+b)^2}{b^2}\Big) + k\sigma \ln \Big(\frac{(a+2b)^2}{(a+b)^2}\Big)$$ Reduciendo la última expresión y usando las propiedades de los logaritmos: $$E_T=-2k\sigma \ln \Big(\frac{(a+b)}{b}\Big) + 2k\sigma \ln \Big(\frac{(a+2b)}{(a+b)}\Big)=-2k\sigma \ln \Big(\frac{a(a+2b)}{(a+b)^2}\Big)$$

diverge cuando$x=b$.

Cualquier otro método para encontrar el campo, probé con coordenadas polares pero no sé cómo hacerlo.

¿Cómo puede resolver la parte b), no sé cómo hacerlo.