¿Quién fue el primero en integrar las ecuaciones de movimiento de Newton para derivar las leyes de conservación de la energía mecánica y el momento?

No basta con integrar las ecuaciones de movimiento para obtener las leyes de conservación. Newton derivó la conservación de los componentes del momento en ausencia de fuerzas externas de la tercera ley del movimiento ya en Principia . La idea de integrar fuerzas para obtener cambios en el momento y la energía cinética (llamada "vis viva" en ese momento) aparece por primera vez en De Viribus Vivis de Boscovich (Roma, 1745), una contribución de cincuenta páginas en latín a la entonces furiosa controversia de vis viva. ver ¿Qué fue la controversia vis viva, incluidos sus aspectos filosóficos? para detalles. De acuerdo a

Según Iltis's d'Alembert y la controversia de Vis Viva :

" Empleando tanto las antiguas categorías escolásticas como los nuevos métodos matemáticos de su tiempo, Boscovich discutió la representación gráfica de una presión aplicada a través de un tiempo y una fuerza aplicada sobre una distancia... Sin tomar posición sobre la definición de fuerza, Boscovich midió la velocidad adquirida como una relación compuesta por la presión y su duración. Una imagen geométrica es generada por la línea que representa la presión con el tiempo como la segunda dimensión del diagrama. La presión es así una función del tiempo. Interpretando esto en terminología moderna, el momento mv se representaría como la integral de estas presiones instantáneas (o impulsos) durante un tiempo, o$\int mdv = \int pdt$.

Boscovich sugirió que, si la coordenada de tiempo se reemplaza por el espacio atravesado y la coordenada de presión por la fuerza que en cualquier instante produce la velocidad proporcional a ella, se representa un segundo aspecto del fenómeno... El nuevo término 'fuerza' debe interpretarse como una entidad proporcional a la velocidad engendrada en cualquier instante. Si la coordenada de presión se cambia a la fuerza y ​​la coordenada de tiempo al espacio, entonces la nueva imagen geométrica que produce la velocidad se representaría en notación moderna como$\int Fds$. Entonces interpretaríamos vis viva como$\int mvdv = \int Fds$(dónde$ds = vdt$). Boscovich no incluye la masa en este análisis.

D'Alembert incluyó interpretaciones similares en la segunda edición de su Traite de Dynamique (1758), una monografía histórica sobre mecánica posterior a los Principia de Newton, que fue muy leída. No está claro si estaba al tanto del trabajo de Boscovich. Sin embargo, fue solo Lagrange en Mecanique Analytique (1788) , quien introdujo la noción de energía potencial (el nombre fue propuesto por Rankine solo en 1853), y demostró que para las fuerzas potenciales la suma de las energías cinética y potencial es una "integral de movimiento".