¿Quién resolvió por primera vez el oscilador armónico clásico?

Fue "resuelto" por Huygens en Horologium Oscillatorum (1673) . Las comillas de miedo están ahí porque nunca escribió la ecuación, e incluso las leyes de Newton aún no se formularon explícitamente. Huygens consideró el movimiento del péndulo, y para casos simples conocía la " ley de la conservación de la fuerza viva " (energía mecánica), como la llamó más tarde Bernoullis, véase Mach, History and Root of the Principle of the Conservation of Energy, p. 30 . En términos modernos, esta sería la primera integral, o cuadratura, de la correspondiente ecuación de movimiento. Con eso, pudo derivar la fórmula del período para el movimiento del péndulo con amplitudes pequeñas,$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$en notación moderna, que tampoco utilizó. Aquí está de los orígenes acústicos del análisis armónico por Darrigol, p.351 :

"El primer indicio de que el movimiento armónico (similar a un seno) juega un papel básico en la acústica se encuentra en la teoría musical de cuerdas de Christiaan Huygens. En su célebre Horologium Oscillatorium de 1673, Huygens demostró que el movimiento pendular de un cuerpo que se desliza hacia abajo sobre una cicloide era armónico e isócrono. Por esa época, también entendió que la fuerza responsable de este movimiento era proporcional a la distancia recorrida por el cuerpo desde el punto de equilibrio. Probablemente notando que una circunstancia similar ocurría en el caso de una cuerda elástica ingrávida y tensa cargada con una masa en el medio, dedujo la frecuencia de oscilación en función de la tensión, la longitud y la masa. El razonamiento implicaba oscilaciones armónicas para la cuerda cargada. También esbozó una generalización para una cuerda cargada con varias masas,"

Taylor, que estaba estudiando cuerdas vibrantes en 1713, se benefició de la mecánica de Newton. Aún así, no escribió la ecuación, sino que usó analogías con el péndulo y se dio cuenta de que la forma del seno era una solución para la cuerda. Johann Bernoulli siguió el ejemplo de Taylor y representó las cuerdas como masas conectadas. En una carta de 1727 a su hijo Daniel, escribió explícitamente la ecuación del oscilador armónico para cada uno y la integró analíticamente.

Impreso, el primer tratamiento moderno del oscilador armónico es De Novo Genere Oscillationum de Euler (presentado en 1738-9, publicado en 1750) . Resolvió en cuadraturas no solo la ecuación del oscilador libre, sino también la del oscilador impulsado por la fuerza armónica. Este fue el primer tratamiento analítico de la resonancia, ver Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v.2, pp. 479-482 :

En su esfuerzo por tratar la cuerda vibrante, John Bernoulli, en una carta de 1727 a su hijo Daniel y en un artículo, consideró la cuerda elástica ingrávida cargada de$n$masas iguales e igualmente espaciadas... John reconoció que la fuerza sobre cada masa es$-K$multiplicado por su desplazamiento y resuelto$\frac{d^2x}{dt^2} = - Kx$, integrando así la ecuación del movimiento armónico simple por métodos analíticos .

[...] En 1728 Euler comenzó a considerar ecuaciones de segundo orden. Su interés en estos fue despertado en parte por su trabajo en mecánica. Había trabajado, por ejemplo, en el movimiento del péndulo en medios resistentes, lo que conduce a una ecuación diferencial de segundo orden... En un artículo de 1739, Euler abordó las ecuaciones diferenciales del oscilador armónico.$\ddot{x} + Kx = 0$y la oscilación forzada del oscilador armónico$M\ddot{x} + Kx = F\sin(\omega t)$. Obtuvo las soluciones por cuadraturas y descubrió (realmente redescubierto, ya que otros lo habían encontrado antes) el fenómeno de la resonancia ”.