¿Qué tienen que ver las transformaciones/grupos de Möbius con la relatividad especial?

1. Un rayo de luz dirigido al futuro

   $$n^{\mu}~=~(1,{\bf p}/|{\bf p}|), \qquad {\bf p}~\in~\mathbb{R}^3\backslash\{\bf 0\}, \tag{1}$$ se puede identificar con un vector de 4 similar a la luz dirigido al futuro distinto de cero $$p^{\mu}~=~(E,{\bf p})\tag{2}$$ si mod out con la energía$E\equiv |{\bf p}|>0$.

2. Por lo tanto, el conjunto de rayos de luz dirigidos hacia el futuro (a través de un punto fiduciario) se puede identificar con la esfera de Riemann.

   $$\mathbb{C}P^1~\cong~S^2~\cong~(\mathbb{R}^3\backslash\{\bf 0\})/\mathbb{R}_+.\tag{3}$$

3. El grupo restringido de Lorentz$SO^+(3,1)$actúa transitivamente sobre el conjunto de rayos de luz dirigidos hacia el futuro, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Por lo tanto, pueden identificarse con las transformaciones de Moebius.

4. Para una prueba de$SO^+(3,1)\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$, véase, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Encontrará una forma intuitiva de responder a su pregunta a través del artículo Wiki sobre Möbius .

" En física, el componente identidad del grupo de Lorentz actúa sobre la esfera celeste de la misma manera que el grupo de Möbius actúa sobre la esfera de Riemann. De hecho, estos dos grupos son isomorfos. Un observador que acelere a velocidades relativistas verá el patrón de constelaciones vistas cerca de la Tierra se transforman continuamente de acuerdo con las transformaciones infinitesimales de Möbius. Esta observación a menudo se toma como el punto de partida de la teoría del twistor " .

Véase también la última sección sobre Aplicaciones, que analiza el isomorfismo del grupo de Möbius con el grupo de Lorentz, SO+(1,3) y SL(2,C). También la tabla de clasificación cerca del final, que me parece sugerente.

Espero que esto ayude.