¿Cómo probar que las transformaciones ortocrónicas de Lorentz O+(1,3)O+(1,3)O^+(1,3) forman un grupo?

Sea la métrica de Minkowski$\eta_{\mu\nu}$en$d+1$las dimensiones del espacio-tiempo sean

$$\eta_{\mu\nu}~=~{\rm diag}(1, -1, \ldots,-1).\tag{1}$$

Denotemos el grupo de Lie de las transformaciones de Lorentz como$O(1,d;\mathbb{R})=O(d,1;\mathbb{R})$. Una matriz de Lorentz$\Lambda$satisface (en notación matricial)

$$\Lambda^t \eta \Lambda~=~ \eta. \tag{2}$$

Aquí el superíndice "$t$" denota transposición de matriz. Tenga en cuenta que la ecuación (2) no depende de si usamos la convención de la costa este o la costa oeste para la métrica$\eta_{\mu\nu}$.

Descompongamos una matriz de Lorentz$\Lambda$en 4 bloques

$$\Lambda ~=~ \left[\begin{array}{cc}a & b^t \cr c &R \end{array} \right],\tag{3}$$

dónde$a=\Lambda^0{}_0$es un número real;$b$y$c$Son reales$d\times 1$vectores de columna; y$R$es un verdadero$d\times d$matriz.

Ahora defina el conjunto de transformaciones ortocrónicas de Lorentz como

$$O^{+}(1,d;\mathbb{R})~:=~\{\Lambda\in O(1,d;\mathbb{R}) | \Lambda^0{}_0 > 0 \}.\tag{4}$$

La prueba de que se trata de un subgrupo se puede deducir de la siguiente serie de ejercicios.

Ejercicio 1: Demostrar que

$$|c|^2~:= ~c^t c~ = ~a^2 -1.\tag{5}$$

Ejercicio 2: Deduce que

$$|a|~\geq~ 1.\tag{6}$$

Ejercicio 3: Utilice la ec. (2) para probar que

$$\Lambda \eta^{-1} \Lambda^t~=~ \eta^{-1}. \tag{7}$$

Ejercicio 4: Demostrar que

$$|b|^2~:= ~b^t b~ = ~a^2 -1.\tag{8}$$

A continuación, consideremos un producto

$$\Lambda_3~:=~\Lambda_1\Lambda_2\tag{9}$$

de dos matrices de Lorentz$\Lambda_1$y$\Lambda_2$.

Ejercicio 5: Demuestra que

$$b_1\cdot c_2~:=~b_1^t c_2~=~a_3-a_1a_2.\tag{10}$$

Ejercicio 6: Demostrar la doble desigualdad

$$-\sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1} ~\leq~ a_3-a_1a_2~\leq~ \sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1},\tag{11}$$

que se puede escribir de forma compacta como

$$| a_3-a_1a_2|~\leq~\sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1}.\tag{12}$$

Ejercicio 7: Deducir de la doble desigualdad (11) que

$$a_1\neq 0 ~\text{and}~ a_2\neq 0~\text{have same signs} \quad\Rightarrow\quad a_3>0. \tag{13}$$ $$a_1 \neq 0~\text{and}~ a_2\neq 0~\text{have opposite signs} \quad\Rightarrow\quad a_3<0. \tag{14}$$

Ejercicio 8: Utilice la ec. (13) para probar que$O^{+}(1,d;\mathbb{R})$es estable/cerrado bajo el mapa de multiplicación.

Ejercicio 9: Utilice la ec. (14) para probar que$O^{+}(1,d;\mathbb{R})$es estable/cerrado bajo el mapa de inversión.

Los ejercicios 1-9 muestran que el conjunto$O^{+}(1,d;\mathbb{R})$de transformaciones ortocrónicas de Lorentz forman un subgrupo.$^{\dagger}$

Referencias:

1. S. Weinberg, Teoría cuántica de campos, vol. 1, 1995; pags. 57-58.

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$^{\dagger}$Un matemático probablemente diría que las ecs. (13) y (14) muestran que el mapa

$$O(1,d;\mathbb{R})\quad \stackrel{\Phi}{\longrightarrow}\quad \{\pm 1\}~\cong~\mathbb{Z}_2\tag{15}$$

dada por

$$\Phi(\Lambda)~:=~{\rm sgn}(\Lambda^0{}_0)\tag{16}$$

es un homomorfismo de grupo entre el grupo de Lorentz$O(1,d;\mathbb{R})$y el grupo cíclico$\mathbb{Z}_2$, y un núcleo

$${\rm ker}(\Phi)~:=~\Phi^{-1}(1)~=~O^{+}(1,d;\mathbb{R}) \tag{17}$$

es siempre un subgrupo normal.

Para una generalización a grupos ortogonales indefinidos$O(p,q;\mathbb{R})$, consulte esta publicación de Phys.SE.

Su problema también me molestó hace mucho tiempo, así que sé lo que está preguntando. La parte "adecuada" es fácil por el hecho de que los determinantes se multiplican bajo la multiplicación de matrices, por lo que restringir a la unidad determinante es simple. El signo positivo del componente de tiempo se demuestra topológicamente.

El grupo de Lorentz mueve el vector de unidad de tiempo a algún lugar del hiperboloide:

$$t^2 - x^2 = 1$$

En cualquier cantidad de dimensiones. Este es un espacio desconectado, hay dos componentes --- los que tienen t>0 y t<0. Para probar desconectado, puede ver que no hay soluciones reales para la ecuación con$-1<t<1$, y el teorema del valor intermedio requiere que cualquier camino que conecte el hiperboloide superior con el inferior pase por el medio.

Esto significa que cualquier transformación donde la imagen del vector unidad de tiempo invierta el signo del tiempo está desconectada de la identidad. Si observa el componente del grupo de Lorentz conectado a la identidad, no debe invertir el signo del vector de tiempo, y la propiedad de estar continuamente conectado a la identidad se conserva bajo multiplicación e inversas, por un argumento fácil (conectar a la identidad y tomar punto por producto/inverso).

La respuesta de Misha es correcta y completa.

Sin embargo, déjame darte el argumento físico que explica por qué no encuentras la prueba en ningún libro. Las transformaciones ortocrónicas adecuadas son las rotaciones espaciales y las transformaciones (o impulsos) puras de Lorentz. Y es claro desde un punto de vista físico que estas transformaciones verifican las leyes de grupo: clausura, existencia de inversa (ángulo opuesto o velocidad) e identidad.

Todos los axiomas de grupo se cumplen y son obvios. El cierre es fácil de probar, la asociatividad es fácil de probar, la identidad es obvia y la inversa es obvia.

En principio, no puede imaginarse ninguna transformación física que no forme un grupo. La definición del grupo se inspira principalmente en la idea de los movimientos de la física: rotaciones, cambios, transformada de Lorentz, etc.