Deslocalización en la versión de raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon

En este artículo de Wikipedia se deriva una ecuación de onda relativista utilizando el hamiltoniano

H = pag 2 C 2 + metro 2 C 4
Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger se obtiene la versión de raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon:
( ( − i ℏ ∇ ) 2 C 2 + metro 2 C 4 ) ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ
Entonces el artículo dice:

Otro problema, menos evidente y más grave, es que se puede demostrar que no es local e incluso violar la causalidad: si la partícula se localiza inicialmente en un punto r 0 de modo que ψ ( r 0 , t = 0 ) es finito y cero en cualquier otro lugar, entonces en cualquier momento posterior la ecuación predice la deslocalización ψ ( r , t ) ≠ 0 en todas partes, incluso para r > C t lo que significa que la partícula podría llegar a un punto antes que un pulso de luz.

¿Cuál es esta solución explícitamente? También he leído esta pregunta Phys.SE pero no hay ninguna pista para mi pregunta.

Creo que esta pregunta está relacionada con physics.stackexchange.com/q/195143

Respuestas (1)

Tomado de Peskin & Schroeder p.14:
Amplitud de propagación

Luego lo calculan asintóticamente y se refieren a: Gradshteyn y Ryzhik (1980), #3.914 para una solución exacta
Buscando esa referencia, nos encontramos con: #3.914, 6: (Disponible aquí )
Cálculo
Donde k 2 es la función de Bessel modificada.

esa solución es también una solución de la ecuación de Klein-Gordon. Eso implicaría que la ecuación estándar de Klein-Gordon tampoco es local. ¿Tengo razón?
"La teoría cuántica de campos resuelve el problema de la causalidad de una manera milagrosa que discutiremos en la Sección 2.4. Encontraremos que en la teoría de campos multipartículas la propagación de una partícula a través de un intervalo similar al espacio es indistinguible de la propagación de una antipartícula en la dirección opuesta. ver (Fig. 2.1). Cuando preguntamos si una observación realizada en el punto x puede afectar una observación realizada en el punto x, encontraremos que las amplitudes para la propagación de partículas y antipartículas se cancelan exactamente, por lo que se conserva la causalidad". - Tomado de P&S más adelante.
La solución no se desvanece fuera del cono de luz y, por lo tanto, la solución no es local, pero, debido a las antipartículas, se conserva la causalidad.
Pero esto también sería un problema para la ecuación KG.
Si se preserva la causalidad, en realidad no es un problema tan grande.
Pero (según el libro) el problema de causalidad se resuelve usando QFT. Mi pregunta es solo sobre las ecuaciones. Ecuación de KG (que es de segundo orden en derivadas temporales y espaciales) y la versión de raíz cuadrada. Algunas personas los llaman locales y no locales respectivamente.
Entonces, la ecuación de KG también admite una solución no local.
La ecuación KG en sí tiene este problema, eso es cierto. Sin embargo, al usarlo en QFT, se conserva la causalidad. Entonces, si bien la ecuación en sí tiene este problema, luego se resuelve.
Deslocalización en la versión de raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon
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