¿Qué tiene de cuántico el teorema de no clonación?

Question

¿Qué tiene de cuántico el teorema de no clonación?

una mente curiosa

He escuchado a personas describir el teorema de no clonación como una característica esencial de la "física cuántica", similar a decir "no podemos copiar información cuántica arbitraria con precisión arbitraria". Sin embargo, esta pregunta trata sobre la interpretación del resultado cuántico solo en la medida en que arroja luz sobre el resultado clásico presentado en el curso de la pregunta.

El enunciado formal básico del teorema es que dado un espacio de Hilbert $H$ , no hay operador unitario $U : H \otimes H \to H \otimes H$ tal que

tu (| a ⟩ \otimes | b ⟩) = | a ⟩ \otimes | a ⟩

$U (\lvert a \rangle \otimes \lvert b\rangle) = \lvert a\rangle \otimes \lvert a\rangle$ para todos

| a ⟩ \in H

$\lvert a\rangle \in H$ y un estado "en blanco"

| b ⟩

$\lvert b\rangle$ . La pregunta es, ¿hay algo sorprendente o "cuántico" en este resultado desde el punto de vista de la mecánica clásica?

Aquí hay un argumento de que la "no clonación" también es válida en la mecánica clásica, tomado casi textualmente de "No hay clonación en la mecánica simpléctica" de Fenyes:

Dejar $(M,\omega)$ sea una variedad simpléctica, la $\omega$ es la forma simpléctica que codifica lo que los físicos llamamos el corchete de Poisson por $\omega(X_f,X_g) = \{f,g\}$ dónde $X_f$ es el campo vectorial definido por $\mathrm{d} f = \omega(X_f,-)$ . Entonces todos los movimientos físicos en $M$ son simplectomorfismos, es decir, funciones $M\to M$ que preservan $\omega$ , porque son flujos integrales del campo vectorial hamiltoniano $X_H$ que es un campo vectorial simpléctico por construcción.

El espacio de fase combinado de dos sistemas. $(M,\omega),(M',\omega')$ es $(M\times M',\omega + \omega')$ , dónde $\times$ es el producto cartesiano de variedades. Ahora, el análogo clásico al teorema de no clonación sería claramente la afirmación de que no hay simplectomorfismo. $\phi : M\times M\to M\times M$ tal que

ϕ (a, b) = ϕ (a, a)

$\phi(a,b) = \phi(a,a)$ para todos

a \in M

$a\in M$ y un estado en blanco

b \in M

$b\in M$ . Y, de hecho, esto es cierto:

Dejar $u,v\in T_{(b,b)} (M\times M)$ ser vectores tangentes en $(b,b)$ . Ya que $\phi(x,b) = (x,x)$ por supuesto, curvas $(\gamma(t),b)$ a partir de $(b,b)$ ser mapeado a curvas $(\gamma(t),\gamma(t))$ a partir de $(b,b)$ , y entonces $\mathrm{d} \phi_{(b,b)} (w,0) = (w,w)$ para todos $w\in T_{(b,b)}(M\times M)$ . Por lo tanto,

\begin{aligned} (ω + ω) ((tu, 0), (v, 0)) = (ω + ω) ((tu, tu), (v, v)) \\ ⟹ & ω (tu, v) + ω (0, 0) = ω (tu, v) + ω (tu, v) \\ ⟹ & ω (tu, v) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} & (\omega + \omega)((u,0),(v,0)) = (\omega + \omega)((u,u),(v,v)) \\ \implies & \omega(u,v) + \omega(0,0) = \omega(u,v) + \omega(u,v) \\ \implies & \omega(u,v) = 0\end{align}$ lo cual es una contradicción porque las formas simplécticas no son degeneradas por definición. Por lo tanto, no existe un mapa de clonación hamiltoniano clásico.

Entonces, ¿qué muestra realmente este resultado? ¿Son tontas las suposiciones del teorema de no clonación y el mapa de clonación deseado no refleja realmente lo que queremos decir con poder copiar información arbitraria en cualquier caso? ¿Existe una diferencia sutil entre la configuración clásica y la cuántica que hace que las suposiciones sean tontas en la configuración clásica, pero no en la configuración cuántica? Si las suposiciones no son tontas, ¿cuál es el significado del resultado clásico?

Profesor Legolasov

Hola @ACuriousMind, ¿has considerado que las personas simplemente usan la mecánica cuántica como la herramienta más fundamental disponible para decir que en la naturaleza (en el mundo real) no puede haber duplicación de información? Quiero decir, sí, como ha demostrado, esta característica no es exclusiva de QM, pero una vez que quiera demostrar que la clonación está prohibida, ¿no tiene sentido usar QM para hacerlo sobre cualquier otra cosa? Sé que probablemente no ayude, solo quiero compartir mi punto de vista.

una mente curiosa

@SolenodonParadoxus Bueno, el punto es que la gente parece pensar que podemos copiar información "clásica", lo que parece contradecir el teorema de la pregunta, entonces, ¿qué significa exactamente esta versión de "no clonación"? Eso es lo que quiero saber cuando pregunto si el mapa de clonación no refleja realmente lo que queremos decir con poder copiar información arbitraria.

Profesor Legolasov

Bueno, se usa principalmente en la teoría de la información. Los bits clásicos se pueden clonar y los qubits cuánticos no. El punto es que los circuitos clásicos están en constante interacción con el mundo exterior, por lo que la descripción hamiltoniana es inaplicable y la clonación es posible. Los circuitos cuánticos están aislados porque queremos evitar la decoherencia.

una mente curiosa

@SolenodonParadoxus Entonces, ¿está diciendo que la importancia del teorema clásico es "la clonación clásica requiere disipación", pero a nadie le importó eso porque la disipación no es un problema para el almacenamiento de información clásico? Eso significaría entonces que "no-clonación versus clonación" no es cuántico versus clásico, sino sistemas cerrados versus sistemas abiertos.

Profesor Legolasov

Bastante, sí.

Respuestas (3)

¿Qué tiene de cuántico el teorema de no clonación?

Hola @ACuriousMind, ¿has considerado que las personas simplemente usan la mecánica cuántica como la herramienta más fundamental disponible para decir que en la naturaleza (en el mundo real) no puede haber duplicación de información? Quiero decir, sí, como ha demostrado, esta característica no es exclusiva de QM, pero una vez que quiera demostrar que la clonación está prohibida, ¿no tiene sentido usar QM para hacerlo sobre cualquier otra cosa? Sé que probablemente no ayude, solo quiero compartir mi punto de vista.
@SolenodonParadoxus Bueno, el punto es que la gente parece pensar que podemos copiar información "clásica", lo que parece contradecir el teorema de la pregunta, entonces, ¿qué significa exactamente esta versión de "no clonación"? Eso es lo que quiero saber cuando pregunto si el mapa de clonación no refleja realmente lo que queremos decir con poder copiar información arbitraria.
Bueno, se usa principalmente en la teoría de la información. Los bits clásicos se pueden clonar y los qubits cuánticos no. El punto es que los circuitos clásicos están en constante interacción con el mundo exterior, por lo que la descripción hamiltoniana es inaplicable y la clonación es posible. Los circuitos cuánticos están aislados porque queremos evitar la decoherencia.
@SolenodonParadoxus Entonces, ¿está diciendo que la importancia del teorema clásico es "la clonación clásica requiere disipación", pero a nadie le importó eso porque la disipación no es un problema para el almacenamiento de información clásico? Eso significaría entonces que "no-clonación versus clonación" no es cuántico versus clásico, sino sistemas cerrados versus sistemas abiertos.

ruben verresen · Answer 1

La respuesta parece estar dada aquí .

Permítanme resumirlo: el punto es que la noción de copia que generalmente se ve (como en el OP) en realidad no es lo que queremos decir con copiar. Sólo permite el objeto que queremos copiar y el nuevo objeto . En ese caso, es de hecho imposible de clonar. Pero el artículo vinculado muestra que si también incluimos una copiadora , entonces es posible clonar en el caso clásico (pero sigue siendo imposible en el caso cuántico).

(Nota: en realidad no prueba que siempre sea posible clásicamente, pero al menos da algunos ejemplos explícitos donde es).

craig gidney · Answer 2

Tienes razón en que la no-clonación no es inherentemente cuántica. El análogo clásico de la clonación cuántica es la "clonación de probabilidad".

Aquí está el desafío de la clonación de probabilidad: crea una máquina que tome una moneda preparada para estar cara a cara con probabilidad $p$ , pero saca dos monedas cara arriba con probabilidad $p$ . El truco es que no sabes $p$ (la máquina debería funcionar para todos $p$ ) y se supone que las dos monedas de salida son independientes. Las estadísticas de la salida deben satisfacer $P(HH) = p^2$ , $P(HT) = P(TH) = p (1-p)$ , y $P(TT) = (1-p)^2$ .

Espero que vea de inmediato por qué esta máquina no puede existir (o, al menos, debe funcionar muy mal). El estado de la moneda no te dice lo suficiente sobre la probabilidad de que la haya generado. Una muestra simplemente no es suficiente información para tener una buena idea de la distribución subyacente. Entonces, lo mejor que puede hacer es hacer que las dos monedas coincidan con la entrada, tal vez agregar un poco de ruido y esperar que las pruebas estadísticas pasen por alto lo obvio.

Otra forma de pensarlo es que no hay una matriz estocástica $S$ que satisface:

S [\begin{matrix} pags \\ 1 - pags \end{matrix}] = {[\begin{matrix} pags \\ 1 - pags \end{matrix}]}^{\otimes 2} = [\begin{matrix} {pags}^{2} \\ pags (1 - pags) \\ pags (1 - pags) \\ (1 - pags)^{2} \end{matrix}]

$S \begin{bmatrix} p \\ 1-p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ 1-p \end{bmatrix}^{\otimes 2} =\begin{bmatrix} p^2 \\ p (1-p) \\ p(1-p) \\ (1-p)^2 \end{bmatrix}$

Esto es obvio porque la salida requiere que los componentes de la entrada se multipliquen y eleven al cuadrado. no puedes ir de $p$ a $p^2$ utilizando una operación lineal.

Véase también: el artículo de 2002 'Teorema clásico de no clonación' de A. Daffertshofer et al. , que es citado por el documento que citó.

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

qmecanico · Answer 3

Comentarios a la publicación (v1):

Así que hay al menos 4 teoremas relacionados:
1. El teorema cuántico de no clonación para estados puros de Wootters, Zurek & Dieks.
2. El teorema cuántico de no transmisión para operadores de densidad.
3. El clásico teorema de no clonación simpléctica de las Refs. 1-2. Esto es lo que pregunta OP.
4. El clásico teorema probabilístico de no clonación utilizando la divergencia de Kullback-Leibler por Ref. 3. No tendremos nada más que decir sobre el punto 4.
Tenga en cuenta que tanto Thm. 1 y Thm. 3 tienen demostraciones elementales de una línea. Por lo tanto, podría no ser muy constructivo/productivo/útil/significativo tratar de compararlos. [Por ejemplo, tal 'detalle' de si consideramos (i) un espacio de Hilbert o (ii) un espacio de rayos/espacio de Hilbert proyectivo (como lo hacemos en la mecánica cuántica) ya es más sutil, cf. por ejemplo , el teorema de Wigner y su prueba no trivial.]
En cuantización geométrica , bajo el principio de correspondencia entre mecánica clásica y cuántica, el espacio de Hilbert ${\cal H}$ se identifica con una subvariedad lagrangiana a través de polarización. Por lo tanto no podemos usar el espacio de Hilbert ${\cal H}$ para sondear direcciones distintas de cero de la estructura simpléctica. Por lo tanto, podemos argumentar que la obstrucción de la clonación en Thm. 3 no refleja la obstrucción de la clonación en Thm. 1.
Más bien Thm. 1 es de una naturaleza diferente, posiblemente más relacionada con Thm. 2. Si el tiempo lo permite, podemos elaborar más sobre este punto en el futuro.

Referencias:

A. Fenyes, No hay clonación en mecánica simpléctica , 2010.
A. Fenyes, J. Math. física 53 (2012) 012902 , http://arxiv.org/abs/1010.6103 .
A. Daffertshofer, AR Plastino y A. Plastino, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 210601 .

En efecto, al leer la Ref. 2 como también lo señala más explícitamente la respuesta de RubenVerresen, resulta que la obstrucción clásica desaparece al incluir el estado de la máquina copiadora, lo que no ocurre con la obstrucción cuántica. La similitud superficial de las afirmaciones y sus pruebas es engañosa como sospechas en el punto 2.

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