Operadores cuánticos y clásicos de Liouville

En la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica, para un observable$\hat{A}$, tenemos la famosa ecuación de Heisenberg que da la evolución temporal del operador: ($\hat{H}$es el operador hamiltoniano)

$$i\hbar \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} = -[\hat{H},\hat{A}]$$ ¿Cuál se puede reescribir definiendo el operador de Lioville como: $$\hat{L}=\frac{1}{\hbar}[H,.]$$ De este modo $$\begin{align} \hat{A}(t) = e^{i\hat{L}t}\hat{A}(0) = e^{i\hat{H}t/\hbar}\hat{A}(0)e^{-i\hat{H}t/\hbar} \tag{1} \end{align}$$

De manera similar, en la mecánica estadística clásica, para alguna variable diferenciable clásica$A$tenemos la ecuación de Poisson: ($H$siendo el hamiltoniano clásico aquí)

$$\frac{\partial A}{\partial t} = \{A,H\}$$ Ahora definiendo la versión clásica del operador de Liouville: $$\begin{align} \mathcal{L}:=i\{H,.\}=\sum_{i=1}^n [\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}] \tag{*} \end{align}$$ Definiendo así de nuevo la evolución temporal de $A$con el propagador correspondiente: $$\begin{align} A(t) = e^{i\mathcal{L}t}A(0) \tag{2} \end{align}$$

Pregunta:

• En$(1)$pudimos ampliar aún más el operador unitario$e^{i\hat{L}t}$en las dos traslaciones de tiempo unitarias generadas por$\hat{H}$(emparedado del valor del operador en el momento$t=0$), pero mirando$(2)$, ¿hay alguna manera de expandir aún más el propagador?$e^{i\mathcal{L}t}$, usando$(*)$, en un tipo de expresión como se obtuvo en la versión QM, a saber, ecuación$(1)$?