¿Se aplica la ley 12mv212mv2\frac12mv^2 a la mecánica cuántica?

Considere el hamiltoniano clásico para un resorte:

H = 1 2 pag 2 metro + 1 2 k X 2
Este es uno de esos casos simples en los que cuando haces las matemáticas encontramos
metro X ¨ = − k X
y deja claro y obvio que el 1 2 pag 2 metro término ahora se ha convertido en metro X ¨ , ley de Newton. Así que está claro aquí cómo el 1 2 pag 2 metro corresponde a la metro X ¨ término y el − k X es consistente con la ley de Newton.

Mi pregunta:

¿Esta relación entre 1 2 pag 2 metro y metro X ¨ mantener para el operador mecánico cuántico? Por el operador, me refiero a este hamiltoniano

H ^ = 1 2 pag ^ 2 metro + V ^

Es obviamente el mismo formato, pero mi sospecha es que no tiene la misma relación con las leyes de Newton debido a las diferencias fundamentales entre la mecánica clásica y la cuántica. Si tengo razón en que el operador mecánico cuántico no está relacionado con la ley de Newton, ¿alguien puede explicar por qué dado que tienen el mismo formato?

Respuestas (2)

Sí, se cumple refiriéndose a la evolución de operadores de Heisenberg y en el caso específico del oscilador armónico:

X ^ ( t ) := tu ( t ) † X ^ tu ( t )
dónde tu ( t ) := mi − i t H ^ (aquí ℏ := 1 ). Uno tiene
d 2 d t 2 X ^ ( t ) = d d t d d t tu ( t ) † X ^ tu ( t ) = d d t tu ( t ) † i [ H ^ , X ^ ] tu ( t ) = tu ( t ) † i 2 [ H ^ , [ H ^ , X ^ ] ] tu ( t ) .
Usando la forma explícita de H ^ del oscilador armónico y las relaciones canónicas de conmutación , [ X ^ , pag ^ ] = i I , tienes [ H ^ , [ H ^ , X ^ ] ] = k metro X ^ de modo que,
tu ( t ) † i 2 [ H ^ , [ H ^ , X ^ ] ] tu ( t ) = − k metro tu ( t ) † X ^ tu ( t ) = − k metro X ^ ( t )
de modo que
metro d 2 d t 2 X ^ ( t ) = − k X ^ ( t ) .
Este resultado no es válido para formas más complicadas de V como se puede ver por inspección directa.

Dejando de lado los problemas de dominio y la regularidad del potencial, me parece que la ecuación de Hamilton pag ˙ = − ∇ V se mantiene en general en este enfoque, como [ pag ^ , V ( q ^ ) ] = − i ℏ ∇ V ( q ^ ) , dónde ∇ V ( q ^ ) es la "multiplicación por ∇ V "operador. ¿Estoy pasando por alto algo?
Solo problemas de dominio, que sin embargo podrían ser muy sutiles. En general, las relaciones de conmutación de los operadores autoadjuntos como el que usted considera descienden de las relaciones de conmutación de los grupos unitarios asociados solo en un sentido débil (que yo sepa, no existe una prueba matemáticamente satisfactoria del teorema de Eherenfest, aunque parece físicamente obvio). )... a menos que los generadores pertenezcan a un álgebra de Lie común y se utilice un dominio adecuado (Garding / Nelson).

Por el teorema de Ehrenfest tienes

i ℏ d d t mi ω [ q ] = mi ω [ [ q , H ] ]
y
i ℏ d d t mi ω [ pag ] = mi ω [ [ pag , H ] ]
dónde mi ω indica el valor esperado sobre el estado ω . Cálculos simples muestran que la primera ecuación da
i ℏ d d t mi ω [ q ] = i ℏ metro mi ω [ pag ]
mientras que el segundo da
i ℏ d d t mi ω [ pag ] = − i ℏ k mi ω [ q ] .
Configuración X := mi ω [ q ] y π := mi ω [ pag ] ves que te sale
X ˙ = π metro y π ˙ = − k X ,
De dónde
metro X ¨ = − k X .

En términos más generales, dado un potencial genérico V que es diferenciable, las ecuaciones anteriores se generalizan a

metro X ¨ = − tu ′ ,
dónde tu ′ := i ℏ mi ω [ [ pag , V ( q ) ] ] , que coincide con V ′ ( X ) sólo cuando V ′ es lineal en su argumento.

¿Se aplica la ley 12mv212mv2\frac12mv^2 a la mecánica cuántica?
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