¿Es F=maF=maF=ma una suposición en la ecuación original de Schrödinger?

Question

¿Es F=maF=maF=ma una suposición en la ecuación original de Schrödinger?

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Creo que la respuesta es sí, porque en $\hat{H}\psi=E\psi$ inicialmente usó, $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\hat{V}$ se derivó claramente de la mecánica clásica de Hamilton.

¿Podría por favor aclararme esto?

En Modern Quantum Mechanics de Sakurai, "deriva" el Schr eq. Sin embargo, no entendí completamente los procesos.

usuario12029

Creo que la respuesta va a ser muy subjetiva. ¡La única suposición en la ecuación de Schrödinger es la ecuación misma!

Respuestas (5)

¿Es F=maF=maF=ma una suposición en la ecuación original de Schrödinger?

Creo que la respuesta va a ser muy subjetiva. ¡La única suposición en la ecuación de Schrödinger es la ecuación misma!

Sean E. Lago · Answer 1

Dejo que los historiadores digan si los científicos usaron o no $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ literalmente o no. Sin embargo, una de las bases de la mecánica cuántica es el principio de correspondencia . Este es el nombre de un principio más amplio en la física que cualquier nueva teoría tiene que coincidir con las teorías más antiguas en el régimen en el que se ha demostrado que las teorías más antiguas son válidas. En ese sentido, Einstein "usó" la mecánica newtoniana para hacer la relatividad especial, y luego la relatividad especial en la producción de la relatividad general. Volviendo a la mecánica cuántica, la versión más utilizada del principio de correspondencia es que los valores esperados de los operadores cuánticos tienen que obedecer las ecuaciones clásicas de movimiento. En este caso, la versión más precisa es el par de ecuaciones diferenciales:

\begin{aligned} F & = \frac{d pag}{d t}, a norte d \\ pag & = metro \frac{d X}{d t} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{F} &= \frac{\operatorname{d} \mathbf{p}}{\operatorname{d} t},\ \mathrm{and} \\ \mathbf{p} & = m \frac{\operatorname{d} \mathbf{x}}{\operatorname{d} t}. \end{align}$ Qué es

F

$\mathbf{F}$ , ¿aunque? Bueno, de la mecánica hamiltoniana clásica obtenemos que

F_{i} = - \frac{\partial H}{\partial x_{i}}

$\mathbf{F}_i = -\frac{\partial H}{\partial x_i}$ y

\frac{p_{i}}{m} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}

$\frac{\mathbf{p}_i}{m} = \frac{\partial H}{\partial p_i}$ cambiando las ecuaciones a:

\begin{aligned} - \frac{\partial H}{\partial X_{i}} & = \frac{d {pag}_{i}}{d t}, a norte d \\ \frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}} & = \frac{d X_{i}}{d t} . \end{aligned}

$\begin{align} -\frac{\partial H}{\partial x_i} &= \frac{\operatorname{d} p_i}{\operatorname{d} t},\ \mathrm{and}\\ \frac{\partial H}{\partial p_i} &= \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d} t}. \end{align}$

Para la mecánica cuántica, estas ecuaciones de movimiento son la forma en que los valores esperados de la mecánica cuántica,

\begin{aligned} - ⟨ \frac{\partial H}{\partial X_{i}} ⟩ & = \frac{d ⟨ {pag}_{i} ⟩}{d t}, a norte d \\ ⟨ \frac{\partial H}{\partial {pag}_{i}} ⟩ & = \frac{d ⟨ X_{i} ⟩}{d t}, \end{aligned}

$\begin{align} -\left\langle \frac{\partial H}{\partial x_i} \right\rangle &= \frac{\operatorname{d} \langle p_i \rangle}{\operatorname{d} t},\ \mathrm{and}\\ \left\langle \frac{\partial H}{\partial p_i}\right\rangle &= \frac{\operatorname{d} \langle x_i \rangle}{\operatorname{d} t}, \end{align}$ obedecer de acuerdo con el teorema de Ehrenfest , que es una de las versiones más citadas del principio de correspondencia.

Josué Heath · Answer 2

Es peligroso pensar en la ecuación de Schrödinger y otras ideas mecánicas cuánticas de la física newtoniana simple. Es más natural considerar la mecánica hamiltoniana clásica. Por ejemplo, en la mecánica hamiltoniana, tenemos el corchete de Poisson, que podría pensarse como el análogo clásico del conmutador mecánico cuántico:

{A, B} = \sum_{i} (\frac{\partial A}{\partial q_{i}} \frac{\partial B}{\partial {pag}_{i}} - \frac{\partial B}{\partial q_{i}} \frac{\partial A}{\partial {pag}_{i}})

$\{A,\,B\} = \sum_i \left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i} \right)$

dónde $A$ y $B$ son algunas cantidades físicas. De lo anterior, tenemos la interesante propiedad de que el corchete de Poisson de una cantidad independiente del tiempo $A$ con el hamiltoniano es el negativo de la derivada del tiempo total:

\begin{aligned} {H, A} = - \frac{d A}{d t} \end{aligned}

$\begin{align} \{H,\,A\}=-\frac{dA}{dt} \end{align}$

Ahora, vayamos al mundo de la mecánica cuántica y cambiemos nuestros soportes de Poisson a conmutadores cuánticos de color azul real:

{A, B} \to \frac{1}{i ℏ} [A, B]

$\{A,\,B\}\rightarrow \frac{1}{i\hbar}[A,\,B]$

Reemplazando esto en nuestra ecuación para la derivada anterior, tomando $A$ y $H$ ser valores promedio con respecto a alguna función de onda $|\psi\rangle$ , y tomando $A$ a la unidad, obtenemos la ecuación de Schrödinger:

i ℏ \frac{d}{d t} | ψ ⟩ = H | ψ ⟩

$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi\rangle = H|\psi\rangle$

Como dijo ZeroTheHero, la ecuación de Schrödinger no se limita a hamiltonianos simples de la forma $p^2/2m+V$ --es mucho más general que eso, y para entenderlo como el límite de alguna teoría clásica, tenemos que sumergirnos en la mecánica hamiltoniana en oposición a la newtoniana.

ZeroTheHero · Answer 3

La ecuación de Schrödinger no se limita de ninguna manera a los hamiltonianos de la forma

H = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + V (q)

$H=\frac{p^2}{2m} + V(q)$ y por lo tanto no necesita tener ninguna conexión con

F = m a

$F=ma$ .

Diracología · Answer 4

Creo que un no rotundo no es una respuesta adecuada. Schroedinger se guió definitivamente por la mecánica clásica, más precisamente por el formalismo de Hamilton-Jacobi , en su formulación de la mecánica ondulatoria. Por otro lado, la mecánica analítica se remonta a la segunda ley de Newton por medio del Principio de d'Alembert . Por lo tanto, en este sentido, la ecuación de Schroedinger está indirectamente relacionada con la segunda ley de Newton.

El propio Hamilton se esforzó mucho en comprender y desarrollar una analogía entre la mecánica clásica y la óptica geométrica. Observó que en la teoría de Hamilton-Jacobi, el momento de la partícula viene dado por $\vec\nabla S$ , donde la función principal de Hamilton $S$ es la acción vista como una función de las coordenadas. Mirando superficies planas $S=\mathrm{const.}$ vemos que la trayectoria de la partícula es ortogonal a las superficies de nivel. Esto es similar a los rayos de luz que viajan perpendicularmente a superficies niveladas correspondientes a fase constante (frentes de onda).

Schroedinger en 1926 conjeturó que la acción $S$ era de hecho una fase de algún proceso ondulatorio. Por lo tanto, esta onda debería verse como

ψ = ψ_{0} Exp \frac{i S}{ℏ} = ψ_{0} Exp \frac{i}{ℏ} [W (X) - mi t],

$\psi=\psi_0\exp{\frac{iS}{\hbar}}=\psi_0\exp{\frac{i}{\hbar}\left[W(x)-Et\right]},$ dónde

W (x)

$W(x)$ es la función característica de Hamilton . El constante

ℏ = h / 2 π

$\hbar=h/2\pi$ se elige para que esta onda tenga frecuencia

ν = E / h

$\nu=E/h$ , la relación de Planck , que ya se conocía. Reemplazando esta onda en una ecuación de onda, finalmente se obtiene la ecuación de Schroedinger

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \nabla^{2} ψ + V ψ = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} .

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}.$ La mecánica clásica puede entenderse como un caso límite de la mecánica cuántica conectando

ψ = ψ_{0} e^{\frac{i S}{ℏ}}

$\psi=\psi_0e^\frac{iS}{\hbar}$ en la ecuación de Schroedinger y tomando el límite

ℏ \to 0

$\hbar\rightarrow 0$ . El resultado es la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Hamilton-Jacobi es una formulación de la mecánica analítica o variacional y, por lo tanto, tiene sus raíces en el principio de d'Alembert. Este principio establece que el trabajo virtual de la fuerza efectiva (fuerza aplicada menos la tasa de cambio del impulso) es cero. Para llegar a este principio se asume explícitamente la segunda ley de Newton $\vec F=\dot p$ .

Es interesante notar que Hamilton estuvo cerca de formular la mecánica ondulatoria un siglo antes que Schroedinger. Sin embargo, no lo hizo, probablemente por falta de evidencia experimental.

parker · Answer 5

No. Realmente no existe un concepto bien definido de "fuerza" en la mecánica cuántica. Suponiendo que el hamiltoniano para una partícula libre toma la forma $H = p^2/(2m)$ no es lo mismo que suponer que $F = ma$ , porque las ecuaciones de Hamilton no se aplican en la mecánica cuántica (excepto en ciertos límites).

Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg son en realidad las ecuaciones de Hamilton aplicadas a los operadores, por lo que su última declaración puede ser engañosa.

¿Es F=maF=maF=ma una suposición en la ecuación original de Schrödinger?

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